虽然很想继续刷算法，但确实该开数一了

常用麦克劳林公式#

背诵亦是必须的

不难注意到奇函数只有奇次项，偶数只有偶数项，由于0系数项的存在余项可以比存在的项多写一阶

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^8)

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^7)

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^8)

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + o(x^8)

\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + o(x^8)

(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{24}x^4 + o(x^4)

\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + o(x^4)

常用导数#

$(e^x)′=e^x$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\ln(1+x))' = \frac{1}{1+x}$ $(a^x)' = a^x \ln a$

$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$

$(\sin x)' = \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

$(\cot x)' = -\csc^2 x$

$(\sec x)' = \sec x \tan x$

$(\csc x)' = -\csc x \cot x$

常用积分#

标准正态分布概率#

\begin{aligned} &u_{0.05} = 1.645,\qquad u_{0.01} = 2.33 \\ &u_{0.025} = 1.96,\qquad u_{0.1} = 1.28 \\ &u_{0.005} = 2.575 \end{aligned}

反三角函数#

反正嵌套#

表达式	结果
$\arcsin(\sin x)$	$x \ (x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])$
$\arccos(\cos x)$	$x \ (x \in [0, \pi])$
$\arctan(\tan x)$	$x \ (x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))$

表达式	结果
$\sin(\arcsin x)$	$x \ (x \in [-1,1])$
$\cos(\arccos x)$	$x \ (x \in [-1,1])$
$\tan(\arctan x)$	$x \ (x \in \mathbb{R})$

表达式	等价结果
$\sin(\arccos x)$	$\sqrt{1 - x^2}$
$\cos(\arcsin x)$	$\sqrt{1 - x^2}$
$\tan(\arcsin x)$	$\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\tan(\arccos x)$	$\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\sin(\arctan x)$	$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\cos(\arctan x)$	$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

表达式	等价结果
$\arctan(\sin x)$	一般无简单初等化简
$\arctan(\cos x)$	一般无简单初等化简
$\arcsin(\cos x)$	$\frac{\pi}{2} - x \ (x \in [0,\pi])$
$\arccos(\sin x)$	$\frac{\pi}{2} - x \ (x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])$

外反内正，双弦互余

外正内反，全正勾股

反三角函数对称性与互余关系#

1. 对称性#

函数	性质	表达式
$\arcsin x$	奇函数	$\arcsin(-x) = -\arcsin x$
$\arctan x$	奇函数	$\arctan(-x) = -\arctan x$
$\arccos x$	点对称（中心在 $(0, \frac{\pi}{2})$ ）	$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

2. 互余关系#

关系	表达式
基本关系	$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

绝对值的相关性质总结#

一、定义#

对任意实数 $x$ ：

|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

几何意义： $|x|$ 表示 $x$ 到 $0$ 的距离。

二、基本性质#

1. 非负性#

|x| \ge 0,\quad |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0

2. 对称性#

|x| = |-x|

3. 乘除法#

|xy| = |x||y|,\quad \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} \ (y \ne 0)

4. 幂次#

|x|^2 = x^2,\quad |x|^n = |x^n|

三、核心不等式（放缩基础）#

1. 三角不等式#

|a+b| \le |a| + |b|

推广：

\left|\sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|

2. 反三角不等式#

||a| - |b|| \le |a - b|

等价形式：

-|a-b| \le |a| - |b| \le |a-b|

3. 基本夹逼#

-|x| \le x \le |x|

4. 常见推论#

|a-b| \ge ||a| - |b||

四、放缩技巧#

1. 放大（求上界）#

|a+b| \le |a| + |b|

2. 缩小（求下界）#

|a| \ge a,\quad |a| \ge -a

3. 平方转化#

|x| = \sqrt{x^2}

五、构造性质（重点技巧）#

1. 分段构造#

关键思想：按“零点”分区间

例如：

|x-a|,\ |x-b|

关键点： $x=a,\ x=b$

应用：

分区间讨论函数最值
化简表达式

2. 距离构造（几何意义）#

|x-a|

表示 $x$ 到 $a$ 的距离

典型模型：

|x-a| + |x-b|

性质：

当 $x \in [a,b]$ 时最小
最小值为 $|a-b|$

3. 中心化构造（对称）#

将变量平移到“中心”：

例如：

|x-a| + |x-b| = \left|x - \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2}\right| + \left|x - \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2}\right|

用途：

发现对称性
简化最值问题

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常用麦克劳林公式#

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常用积分#

标准正态分布概率#

反三角函数#

反正嵌套#

反三角函数对称性与互余关系#

1. 对称性#

2. 互余关系#

绝对值的相关性质总结#

一、定义#

二、基本性质#

1. 非负性#

2. 对称性#

3. 乘除法#

4. 幂次#

三、核心不等式（放缩基础）#

1. 三角不等式#

2. 反三角不等式#

3. 基本夹逼#

4. 常见推论#

四、放缩技巧#

1. 放大（求上界）#

2. 缩小（求下界）#

3. 平方转化#

五、构造性质（重点技巧）#

1. 分段构造#

2. 距离构造（几何意义）#

3. 中心化构造（对称）#

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1. 对称性#

2. 互余关系#

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一、定义#

二、基本性质#

1. 非负性#

2. 对称性#

3. 乘除法#

4. 幂次#

三、核心不等式（放缩基础）#

1. 三角不等式#

2. 反三角不等式#

3. 基本夹逼#

4. 常见推论#

四、放缩技巧#

1. 放大（求上界）#

2. 缩小（求下界）#

3. 平方转化#

五、构造性质（重点技巧）#

1. 分段构造#

2. 距离构造（几何意义）#

3. 中心化构造（对称）#

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