虽然很想继续刷算法，但确实该开数一了

常用麦克劳林公式#

背诵亦是必须的

不难注意到奇函数只有奇次项，偶数只有偶数项，由于0系数项的存在余项可以比存在的项多写一阶

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^8)

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^7)

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^8)

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + o(x^8)

\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + o(x^8)

(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{24}x^4 + o(x^4)

\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + o(x^4)

常用导数#

$(e^x)′=e^x$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\ln(1+x))' = \frac{1}{1+x}$ $(a^x)' = a^x \ln a$

$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$

$(\sin x)' = \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

$(\cot x)' = -\csc^2 x$

$(\sec x)' = \sec x \tan x$

$(\csc x)' = -\csc x \cot x$

标准正态分布概率#

\text{上分位点}u_{\alpha} = \text{下分位点}d_{1-\alpha}

\begin{aligned} &u_{0.05} = 1.645,\qquad u_{0.01} = 2.33 \\ &u_{0.025} = 1.96,\qquad u_{0.1} = 1.28 \\ &u_{0.005} = 2.575 \end{aligned}

三角恒等变换#

和差化积#

形式	结果
$\sin A+\sin B$	$2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
$\sin A-\sin B$	$2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
$\cos A+\cos B$	$2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
$\cos A-\cos B$	$-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

积化和差#

形式	结果
$\sin A\cos B$	$\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$
$\cos A\sin B$	$\frac{1}{2}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]$
$\cos A\cos B$	$\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$
$\sin A\sin B$	$\frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$

反三角函数#

反正嵌套#

表达式	结果
$\arcsin(\sin x)$	$x \ (x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])$
$\arccos(\cos x)$	$x \ (x \in [0, \pi])$
$\arctan(\tan x)$	$x \ (x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))$

表达式	结果
$\sin(\arcsin x)$	$x \ (x \in [-1,1])$
$\cos(\arccos x)$	$x \ (x \in [-1,1])$
$\tan(\arctan x)$	$x \ (x \in \mathbb{R})$

表达式	等价结果
$\sin(\arccos x)$	$\sqrt{1 - x^2}$
$\cos(\arcsin x)$	$\sqrt{1 - x^2}$
$\tan(\arcsin x)$	$\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\tan(\arccos x)$	$\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\sin(\arctan x)$	$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\cos(\arctan x)$	$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

表达式	等价结果
$\arctan(\sin x)$	一般无简单初等化简
$\arctan(\cos x)$	一般无简单初等化简
$\arcsin(\cos x)$	$\frac{\pi}{2} - x \ (x \in [0,\pi])$
$\arccos(\sin x)$	$\frac{\pi}{2} - x \ (x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])$

外反内正，双弦互余

外正内反，全正勾股

反三角函数对称性与互余关系#

1. 对称性#

函数	性质	表达式
$\arcsin x$	奇函数	$\arcsin(-x) = -\arcsin x$
$\arctan x$	奇函数	$\arctan(-x) = -\arctan x$
$\arccos x$	点对称（中心在 $(0, \frac{\pi}{2})$ ）	$\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

2. 互余关系#

关系	表达式
基本关系	$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

计数#

n个球	r个盒子（位置）	条件	分配方案数量
不同	不同	至少0个	$r^n$
不同	不同	至少1个	$r!S(n,r)$
不同	不同	至多1个	$A_{r}^{n}$
不同	相同	至少0个	$\sum\limits_{i = 1}^{r}{S(n,i)}$
不同	相同	至少1个	$S(n,r)$
不同	相同	至多1个	$1$
相同	不同	至少0个	$C_{n+r-1-0r}^{r-1}$
相同	不同	至少k个	$C_{n+r-1-kr}^{r-1}$
相同	不同	至多1个	$C_{r}^{n}$
相同	相同	至少0个	$\sum\limits_{i = 1}^{r}{p(n,i)}$
相同	相同	至少1个	$p(n,r)$
相同	相同	至多1个	$1$

绝对值#

定义与性质#

|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

几何意义： $|x-a|$ 表示 $x$ 到 $a$ 的距离。

|x| \ge 0,\quad |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0,\quad |x| = |-x|

|xy| = |x||y|,\quad \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} \ (y \ne 0)

|x|^2 = x^2,\quad |x| = \sqrt{x^2},\quad -|x| \le x \le |x|

常用不等式#

|a+b| \le |a| + |b|

\left|\sum_{i=1}^n a_i\right| \le \sum_{i=1}^n |a_i|

||a| - |b|| \le |a - b|

-|a-b| \le |a| - |b| \le |a-b|

常用技巧#

|a| \ge a,\quad |a| \ge -a

分段时看零点： $x=a,\ x=b$ 。

|x-a|+|x-b| \ge |a-b|

|x-a| + |x-b| = \left|x - \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2}\right| + \left|x - \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2}\right|

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