总览#

偏导数连续
可微
连续	方向偏导数存在
	偏导存在	方向导数存在
x与y方向上连续
有定义

二元极限#

$\varepsilon-\delta$ 语言#

设二元函数

z=f(x,y)

定义在点

(x_0,y_0)

的某个去心邻域内。

若存在常数

A

使得：

对于任意

\epsilon>0

都存在

\delta>0

当

0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta

时，都有

|f(x,y)-A|<\epsilon

则称：

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A

等价写法#

也可写成：

对于任意

\varepsilon>0

存在

\delta>0

使得只要

0<\|(x,y)-(x_0,y_0)\|<\delta

就有

|f(x,y)-A|<\varepsilon

其中

\|(x,y)-(x_0,y_0)\| = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}

表示平面上的欧氏距离。

几何意义#

当点

(x,y)

在平面上足够接近

(x_0,y_0)

时，

函数值

f(x,y)

就会足够接近

A

并且这种接近与趋近路径无关。

值和收敛性#

参考

求二重极限时, 极坐标代换究竟该怎么用? - 知乎

求值#

极坐标变换#

本质还是二元极限，如果有

\forall\theta\in[0,2\pi], \lim_{r\rightarrow 0^+}{f(r,\theta)}=A

则极坐标代换的结果就是二元极限的值，并且二元极限存在，若

\exists \theta s.t.\lim_{r\rightarrow 0^+}{f(r,\theta)}\text{是未定式或发散}

则极限发散

夹逼#

无法判断是否发散

求收敛性#

代入路径#

一般代入 $y=k\text{幂函数}$ 作为路径，只能判断发散性

连续性#

\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)

偏导#

混合偏导连续则两者相同，不连续可能相同，也可能不同

梯度#

\nabla{f(x,y,z)} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})

方向导数#

方向导数表示函数在某点沿指定方向的变化率。设点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ ，单位方向向量为

\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z),\qquad u_x^2+u_y^2+u_z^2=1.

沿用沿射线取极限的定义，若下列极限存在，则称其为 $f$ 在 $P$ 处沿 $\mathbf{u}$ 的方向导数：

\boxed{ D_{\mathbf{u}}f(P) =\lim_{t\to0^+}\frac{f(x_0+tu_x,y_0+tu_y,z_0+tu_z)-f(x_0,y_0,z_0)}{t} }

若 $f$ 在 $P$ 处可微，才能由可微性直接使用梯度公式：

\boxed{ D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} =f_x(P)u_x+f_y(P)u_y+f_z(P)u_z }

仅有各偏导数存在，不足以保证这个公式成立；不能确认可微时，应回到定义计算。

三维中，若 $\alpha,\beta,\gamma$ 分别是方向与三个坐标轴正向的夹角，则

\mathbf{u}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma),\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

二维中，若方向角为 $\theta$ ，则取 $\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta)$ ，定义为

D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) =\lim_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t\cos\theta,y_0+t\sin\theta)-f(x_0,y_0)}{t}.

当 $f$ 在该点可微时，

D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) =f_x(x_0,y_0)\cos\theta+f_y(x_0,y_0)\sin\theta.

助记：先把方向单位化，再用梯度做点积；使用点积公式前，先确认可微。 若给定非零方向向量 $\mathbf{v}$ ，应先取 $\mathbf{u}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|$ 。

有些教材用 $t\to0$ 的双侧极限定义方向导数。本文采用 $t\to0^+$ ；在可微情形下两种定义结果一致，一般情形下需注意区别。

隐函数存在性定理#

一元#

设：

F(x,y)

在点 $(x_0,y_0)$ 附近连续可微。

若：

F(x_0,y_0)=0

且：

F_y(x_0,y_0)\neq0

则在 ((x_0,y_0)) 附近：

F(x,y)=0

可唯一确定一个可微隐函数：

y=\varphi(x)

满足：

\varphi(x_0)=y_0

隐函数求导公式#

由：

F(x,y)=0

可得：

\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

多元#

方程组：

F_i(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0 \quad(i=1,\dots,m)

若雅可比行列式：

\det\left( \frac{\partial F_i}{\partial y_j} \right)\neq0

F按行号递增，y按列号递增

则可局部解出：

y_i=\varphi_i(x_1,\dots,x_n)

微分#

\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho) \qquad (\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y) ^ 2}) \\

即可微等价于下极限收敛

\lim_{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow (0,0)} {\frac{f(x + \Delta x, y + \Delta y) - A\Delta x - B\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y) ^ 2}}}

全微分形式不变性#

没什么用

极值#

无条件极值#

设二元函数：

z=f(x,y)

若在点

(x_0,y_0)

附近恒有：

f(x,y)\le f(x_0,y_0)

则称：

f(x_0,y_0)

为极大值。

类似地，

f(x,y)\ge f(x_0,y_0)

则称为极小值。

统称极值。

驻点#

满足：

\nabla f(x_0,y_0)=0

即：

f_x(x_0,y_0)=0, \quad f_y(x_0,y_0)=0

的点称为驻点。

驻点不一定是极值点。

极值必要条件#

若：

$f$ 在 $x_0,y_0$ 可微
$x_0,y_0$ 为极值点

则：

f_x(x_0,y_0)=0, \quad f_y(x_0,y_0)=0

即：

\nabla f(x_0,y_0)=0

因此：

可微极值点一定是驻点。

二阶判别法#

设：

f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0

并且二阶偏导存在。

记：

A=f_{xx}(x_0,y_0)

B=f_{xy}(x_0,y_0)

C=f_{yy}(x_0,y_0)

构造判别式：

D=AC-B^2

则：

极小值#

若：

D>0,\quad A>0

则 $(x_0,y_0)$ 为极小值点。

极大值#

若：

D>0,\quad A<0

则 $(x_0,y_0)$ 为极大值点。

鞍点#

若：

D<0

则不是极值点，

称为鞍点。

无法判断#

若：

D=0

则二阶判别失效。

需继续使用高阶项或定义判断。

黑塞矩阵#

二元函数的黑塞矩阵：

H_f= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}

二阶判别法本质上就是判断：

H_f

的正定性。

正定与极值关系#

正定#

若：

\mathbf{x}^T H_f \mathbf{x}>0

则对应极小值。

负定#

若：

\mathbf{x}^T H_f \mathbf{x}<0

则对应极大值。

不定#

若既可正又可负，

则为鞍点。

n元情形#

对于：

f(x_1,\dots,x_n)

驻点满足：

\frac{\partial f}{\partial x_i}=0 \quad(i=1,\dots,n)

之后考察黑塞矩阵：

H_f= \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} \right)

正定 → 极小值
负定 → 极大值
不定 → 鞍点

条件极值#

在约束条件：

g(x,y)=0

下求：

f(x,y)

的极值。

拉格朗日乘数法#

构造：

L(x,y,\lambda) = f(x,y)+\lambda g(x,y)

求解方程组：

\begin{cases} L_x=0\\ L_y=0\\ g(x,y)=0 \end{cases}

即：

\begin{cases} f_x+\lambda g_x=0\\ f_y+\lambda g_y=0\\ g(x,y)=0 \end{cases}

几何意义#

极值点处：

\nabla f \parallel \nabla g

即：

\nabla f=\lambda \nabla g

说明：

目标函数增长最快方向
与约束曲线法向方向

平行。

多约束情形#

若约束：

g_i(x_1,\dots,x_n)=0 \quad(i=1,\dots,m)

则：

L= f+\sum_{i=1}^m \lambda_i g_i

满足：

\nabla f = \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i

并联立全部约束方程。

极值与最值#

极值：

只要求局部附近最大/最小

最值：

在整个定义域内最大/最小

闭区域最值通常需要：

求内部驻点
求边界极值
比较函数值

常见结论#

可微极值点一定是驻点#

\nabla f=0

但驻点不一定是极值点。

二阶导连续时#

混合偏导满足：

f_{xy}=f_{yx}

判别式本质#

二元二阶泰勒展开：

f(x,y)-f(x_0,y_0) \approx \frac12 \left( A\Delta x^2 +2B\Delta x\Delta y +C\Delta y^2 \right)

即研究二次型符号。

向量值函数#

\overset{\rightarrow} f(t) = (\varphi(t), \psi(t), \omega(t))

用于求空间曲线切线

音乐

音乐

8-多元函数微分学

总览#

二元极限#

ε−δ\varepsilon-\deltaε−δ语言#

等价写法#

几何意义#

值和收敛性#

求值#

极坐标变换#

夹逼#

求收敛性#

代入路径#

连续性#

偏导#

梯度#

方向导数#

隐函数存在性定理#

一元#

隐函数求导公式#

多元#

微分#

全微分形式不变性#

极值#

无条件极值#

驻点#

极值必要条件#

二阶判别法#

极小值#

极大值#

鞍点#

无法判断#

黑塞矩阵#

正定与极值关系#

正定#

负定#

不定#

n元情形#

条件极值#

拉格朗日乘数法#

几何意义#

多约束情形#

极值与最值#

常见结论#

可微极值点一定是驻点#

二阶导连续时#

判别式本质#

向量值函数#

文章分享

评论区

音乐

目录

$\varepsilon-\delta$ 语言#