和中值定理同样是粪题频出区域，或者说涉及到构造和放缩等逆向操作都难。
讨论级数
∑ n = 1 ∞ a n , S n = ∑ k = 1 n a k \sum_{n=1}^{\infty}a_n,
\qquad
S_n=\sum_{k=1}^n a_k n = 1 ∑ ∞ a n , S n = k = 1 ∑ n a k 本质上是讨论部分和数列 { S n } \{S_n\} { S n }
graph TD
A["一般项级数"] --> B{"是否容易处理绝对值"}
B -->|是| C["转化为正项级数"]
B -->|否| D{"是否交错或含振荡因子"}
D -->|交错且单调趋零| E["莱布尼茨判别"]
D -->|部分和有界| F["狄利克雷判别"]
D -->|其余情形| G["部分和、柯西准则、裂项或构造"]
C --> H["比较、极限比较、比值、根值或积分判别"]
基本概念# 收敛的定义# 若存在有限常数 S S S
lim n → ∞ S n = S , \lim_{n\to\infty}S_n=S, n → ∞ lim S n = S , 则称 ∑ a n \sum a_n ∑ a n S S S
改变、增加或删除有限项不改变级数的敛散性，但会改变级数的和。
收敛的必要条件# 若 ∑ a n \sum a_n ∑ a n
lim n → ∞ a n = 0 . \boxed{\lim_{n\to\infty}a_n=0}. n → ∞ lim a n = 0 . 因为 a n = S n − S n − 1 a_n=S_n-S_{n-1} a n = S n − S n − 1 S n , S n − 1 S_n,S_{n-1} S n , S n − 1
反过来不成立。例如
a n = 1 n → 0 , a_n=\frac1n\to0, a n = n 1 → 0 , 但调和级数 ∑ 1 / n \sum 1/n ∑ 1/ n a n ↛ 0 a_n\not\to0 a n → 0 a n → 0 a_n\to0 a n → 0
柯西收敛准则# ∑ a n \sum a_n ∑ a n ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 N N N m > n ≥ N m>n\ge N m > n ≥ N
∣ a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a m ∣ < ε . \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m\right|<\varepsilon. ∣ a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a m ∣ < ε . 它适合证明不存在显式和值时的收敛性，也常用于构造发散级数。
常见基准级数# 等比级数# ∑ n = 0 ∞ q n \sum_{n=0}^{\infty}q^n n = 0 ∑ ∞ q n 当 ∣ q ∣ < 1 |q|<1 ∣ q ∣ < 1
∑ n = 0 ∞ q n = 1 1 − q ; \sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac1{1-q}; n = 0 ∑ ∞ q n = 1 − q 1 ; 当 ∣ q ∣ ≥ 1 |q|\ge1 ∣ q ∣ ≥ 1
p p p # ∑ n = 1 ∞ 1 n p { 收敛 , p > 1 , 发散 , p ≤ 1. \boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}
\begin{cases}
\text{收敛},&p>1,\\
\text{发散},&p\le1.
\end{cases}} n = 1 ∑ ∞ n p 1 { 收敛 , 发散 , p > 1 , p ≤ 1. 对数型级数# 从某个足够大的 n n n
∑ 1 n ( ln n ) p { 收敛 , p > 1 , 发散 , p ≤ 1. \boxed{\sum\frac1{n(\ln n)^p}
\begin{cases}
\text{收敛},&p>1,\\
\text{发散},&p\le1.
\end{cases}} ∑ n ( ln n ) p 1 { 收敛 , 发散 , p > 1 , p ≤ 1. 可由积分判别法得到。
裂项级数# 若通项可以写成
a n = b n − b n + 1 , a_n=b_n-b_{n+1}, a n = b n − b n + 1 , 则
S n = b 1 − b n + 1 . S_n=b_1-b_{n+1}. S n = b 1 − b n + 1 . 例如
∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = 1. \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}
=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1. n = 1 ∑ ∞ n ( n + 1 ) 1 = n = 1 ∑ ∞ ( n 1 − n + 1 1 ) = 1. 正项级数# 以下默认 a n ≥ 0 a_n\ge0 a n ≥ 0
∑ a n 收敛 ⟺ { S n } 有上界 . \sum a_n\text{ 收敛}
\iff
\{S_n\}\text{ 有上界}. ∑ a n 收敛 ⟺ { S n } 有上界 . 比较审敛法# 若从某项开始
0 ≤ a n ≤ b n , 0\le a_n\le b_n, 0 ≤ a n ≤ b n , 则
∑ b n \sum b_n ∑ b n ⇒ ∑ a n \Rightarrow\sum a_n ⇒ ∑ a n ∑ a n \sum a_n ∑ a n ⇒ ∑ b n \Rightarrow\sum b_n ⇒ ∑ b n 反向使用时要注意不等号方向：证明收敛要找一个更大的收敛级数，证明发散要找一个更小的发散级数。
极限比较审敛法# 设 a n , b n > 0 a_n,b_n>0 a n , b n > 0
lim n → ∞ a n b n = L . \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L. n → ∞ lim b n a n = L .
若 0 < L < ∞ 0<L<\infty 0 < L < ∞ ∑ a n \sum a_n ∑ a n ∑ b n \sum b_n ∑ b n
若 L = 0 L=0 L = 0 ∑ b n \sum b_n ∑ b n ∑ a n \sum a_n ∑ a n
若 L = ∞ L=\infty L = ∞ ∑ b n \sum b_n ∑ b n ∑ a n \sum a_n ∑ a n
常用等价无穷小：若 a n ∼ b n a_n\sim b_n a n ∼ b n
比值审敛法# 设 a n > 0 a_n>0 a n > 0
lim n → ∞ a n + 1 a n = L , \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L, n → ∞ lim a n a n + 1 = L , 则
{ L < 1 ⇒ ∑ a n 收敛 , L > 1 ⇒ ∑ a n 发散 , L = 1 ⇒ 无法判断 . \begin{cases}
L<1 &\Rightarrow \sum a_n\text{ 收敛},\\
L>1 &\Rightarrow \sum a_n\text{ 发散},\\
L=1 &\Rightarrow \text{无法判断}.
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ L < 1 L > 1 L = 1 ⇒ ∑ a n 收敛 , ⇒ ∑ a n 发散 , ⇒ 无法判断 . 当 L > 1 L>1 L > 1 0 0 0
根值审敛法# 设 a n ≥ 0 a_n\ge0 a n ≥ 0
lim n → ∞ a n n = L , \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L, n → ∞ lim n a n = L , 则结论与比值法相同。根值法适合整体含 n n n
更一般地可用上极限：
L = lim sup n → ∞ a n n . L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}. L = n → ∞ lim sup n a n . 仍有 L < 1 L<1 L < 1 L > 1 L>1 L > 1
积分判别法# 若 f ( x ) f(x) f ( x ) [ N , + ∞ ) [N,+\infty) [ N , + ∞ ) a n = f ( n ) a_n=f(n) a n = f ( n )
∑ n = N ∞ a n 与 ∫ N ∞ f ( x ) d x \sum_{n=N}^{\infty}a_n
\quad\text{与}\quad
\int_N^{\infty}f(x)\,dx n = N ∑ ∞ a n 与 ∫ N ∞ f ( x ) d x 同敛散。
柯西压缩判别法# 若 a n a_n a n
∑ n = 1 ∞ a n 与 ∑ k = 0 ∞ 2 k a 2 k \sum_{n=1}^{\infty}a_n
\quad\text{与}\quad
\sum_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k} n = 1 ∑ ∞ a n 与 k = 0 ∑ ∞ 2 k a 2 k 同敛散。
例如取 a n = 1 / [ n ( ln n ) p ] a_n=1/[n(\ln n)^p] a n = 1/ [ n ( ln n ) p ] ∑ 1 / k p \sum 1/k^p ∑ 1/ k p
任意项级数# 绝对收敛与条件收敛# 若
∑ ∣ a n ∣ < ∞ , \sum|a_n|<\infty, ∑ ∣ a n ∣ < ∞ , 则称 ∑ a n \sum a_n ∑ a n
若 ∑ a n \sum a_n ∑ a n ∑ ∣ a n ∣ \sum|a_n| ∑ ∣ a n ∣
交错级数与莱布尼茨判别法# 若 u n ≥ 0 u_n\ge0 u n ≥ 0
u n + 1 ≤ u n , u n → 0 , u_{n+1}\le u_n,
\qquad
u_n\to0, u n + 1 ≤ u n , u n → 0 , 则交错级数
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n n = 1 ∑ ∞ ( − 1 ) n − 1 u n 收敛，而且余项满足
∣ R n ∣ ≤ u n + 1 . |R_n|\le u_{n+1}. ∣ R n ∣ ≤ u n + 1 . 单调性只需最终成立。仅有 u n → 0 u_n\to0 u n → 0
狄利克雷判别法# 若
∑ k = 1 n a k \sum_{k=1}^n a_k ∑ k = 1 n a k b n b_n b n b n → 0 b_n\to0 b n → 0 则
∑ n = 1 ∞ a n b n \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n n = 1 ∑ ∞ a n b n 收敛。
莱布尼茨判别法是它的特殊情形：取 a n = ( − 1 ) n − 1 a_n=(-1)^{n-1} a n = ( − 1 ) n − 1
阿贝尔判别法# 若
∑ a n \sum a_n ∑ a n b n b_n b n 则 ∑ a n b n \sum a_nb_n ∑ a n b n
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法都可由分部求和公式证明：
∑ k = 1 n a k b k = A n b n + ∑ k = 1 n − 1 A k ( b k − b k + 1 ) , A k = ∑ j = 1 k a j . \sum_{k=1}^n a_kb_k
=A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}),
\qquad
A_k=\sum_{j=1}^k a_j. k = 1 ∑ n a k b k = A n b n + k = 1 ∑ n − 1 A k ( b k − b k + 1 ) , A k = j = 1 ∑ k a j . 两个数列乘积构成的级数# 一个常见误区# 即使
a n → 0 , ∑ b n 收敛 , a_n\to0,
\qquad
\sum b_n\text{ 收敛}, a n → 0 , ∑ b n 收敛 , 也不能推出 ∑ a n b n \sum a_nb_n ∑ a n b n
取 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2
a n = ( − 1 ) n ln n , b n = ( − 1 ) n n . a_n=\frac{(-1)^n}{\ln n},
\qquad
b_n=\frac{(-1)^n}{n}. a n = ln n ( − 1 ) n , b n = n ( − 1 ) n . 有 a n → 0 a_n\to0 a n → 0 ∑ b n \sum b_n ∑ b n 1 / ln n 1/\ln n 1/ ln n 0 0 0 ∑ a n \sum a_n ∑ a n
a n b n = 1 n ln n , a_nb_n=\frac1{n\ln n}, a n b n = n ln n 1 , 从而
∑ n = 2 ∞ a n b n = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln n \sum_{n=2}^{\infty}a_nb_n
=\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n\ln n} n = 2 ∑ ∞ a n b n = n = 2 ∑ ∞ n ln n 1 发散。这里 a n a_n a n b n b_n b n
哪些附加条件可以保证收敛# ∑ b n \sum b_n ∑ b n # 因为 a n → 0 a_n\to0 a n → 0 { a n } \{a_n\} { a n } ∣ a n ∣ ≤ M |a_n|\le M ∣ a n ∣ ≤ M
∑ ∣ a n b n ∣ ≤ M ∑ ∣ b n ∣ < ∞ . \sum|a_nb_n|
\le M\sum|b_n|<\infty. ∑ ∣ a n b n ∣ ≤ M ∑ ∣ b n ∣ < ∞. 所以这时 ∑ a n b n \sum a_nb_n ∑ a n b n
a n a_n a n 0 0 0 # 若 ∑ b n \sum b_n ∑ b n a n a_n a n 0 0 0
∑ a n b n \sum a_nb_n ∑ a n b n 收敛。
因此，上面的反例必须破坏某个关键条件：其中 a n = ( − 1 ) n / ln n a_n=(-1)^n/\ln n a n = ( − 1 ) n / ln n 0 0 0
判敛思路# 同时求和并判断敛散#
写出部分和，利用裂项相消；
识别为等比级数或已知幂级数；
对已知幂级数逐项积分、求导或代入特殊值。
只证明收敛#
优先判断是否绝对收敛；
正项级数与 p p p
有交错结构时考虑莱布尼茨判别；
有“振荡部分乘趋零部分”时考虑狄利克雷判别；
直接证明部分和有界或使用柯西准则。
只证明发散#
先检查 a n ↛ 0 a_n\not\to0 a n → 0
正项级数向下比较一个已知发散级数；
寻找一段段不趋于 0 0 0
必要时取子列研究部分和。
幂级数# 讨论
∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n . \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n. n = 0 ∑ ∞ a n ( x − x 0 ) n . 存在收敛半径 R ∈ [ 0 , + ∞ ] R\in[0,+\infty] R ∈ [ 0 , + ∞ ]
{ ∣ x − x 0 ∣ < R ⇒ 绝对收敛 , ∣ x − x 0 ∣ > R ⇒ 发散 , ∣ x − x 0 ∣ = R ⇒ 必须分别判断端点 . \begin{cases}
|x-x_0|<R &\Rightarrow \text{绝对收敛},\\
|x-x_0|>R &\Rightarrow \text{发散},\\
|x-x_0|=R &\Rightarrow \text{必须分别判断端点}.
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ ∣ x − x 0 ∣ < R ∣ x − x 0 ∣ > R ∣ x − x 0 ∣ = R ⇒ 绝对收敛 , ⇒ 发散 , ⇒ 必须分别判断端点 . 收敛半径# 柯西—阿达马公式：
1 R = lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ n . \boxed{\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}. R 1 = n → ∞ lim sup n ∣ a n ∣ . 若极限
lim n → ∞ ∣ a n a n + 1 ∣ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| n → ∞ lim a n + 1 a n 存在，也常直接得到
R = lim n → ∞ ∣ a n a n + 1 ∣ . R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|. R = n → ∞ lim a n + 1 a n . 求收敛区间时，应先求 R R R
逐项求导与积分# 在收敛区间内部，幂级数可以逐项求导、逐项积分，并且收敛半径不变：
( ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n ) ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n ( x − x 0 ) n − 1 , \left(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\right)'
=\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-x_0)^{n-1}, ( n = 0 ∑ ∞ a n ( x − x 0 ) n ) ′ = n = 1 ∑ ∞ n a n ( x − x 0 ) n − 1 , ∫ ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n d x = C + ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 ( x − x 0 ) n + 1 . \int\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\,dx
=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}. ∫ n = 0 ∑ ∞ a n ( x − x 0 ) n d x = C + n = 0 ∑ ∞ n + 1 a n ( x − x 0 ) n + 1 . 端点的敛散性在求导或积分后可能改变，需要重新判断。
常用展开# 当 ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n , \frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, 1 − x 1 = n = 0 ∑ ∞ x n , ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n , \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n x^n, ln ( 1 + x ) = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n − 1 x n , arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 . \arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}. arctan x = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 . 指数函数、正弦与余弦的展开对任意实数 x x x
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e x = n = 0 ∑ ∞ n ! x n , sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
\qquad
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}. sin x = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 , cos x = n = 0 ∑ ∞ ( − 1 ) n ( 2 n )! x 2 n . 易错点#
a n → 0 a_n\to0 a n → 0 比值法或根值法得到 L = 1 L=1 L = 1
等价无穷小一般用于最终同号的正项级数，不能直接替换条件收敛级数的通项；
条件收敛级数不能任意重排，也不能随意把正项、负项分别求和；
两个收敛级数逐项相乘所得的 ∑ a n b n \sum a_nb_n ∑ a n b n
幂级数的两个收敛端点必须分别判断。
