总览#

积分可以理解为同维的密度-质量，也可以理解为升维的体积

二重积分#

定义#

\iint\limits_{D} f(x,y) \, d\sigma = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i \quad (\lambda =max(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n))

性质#

线性性#

\iint\limits_{D}[\alpha f(x,y) + \beta g(x,y)] \mathrm{d} \sigma = \alpha\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d} \sigma + \beta\iint\limits_{D} g(x,y) \mathrm{d} \sigma

区域可加性#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D_1}f(x,y) \mathrm{d}\sigma + \iint\limits_{D_2}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \quad ((D_1\cup D_2=D) \land (D_1 \cap D_2 = \emptyset))

区域面积#

\iint\limits_{D} 1 \,\mathrm{d}\sigma = \sigma

保号性#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \leqslant \iint\limits_{D}g(x,y) \mathrm{d}\sigma \quad (f(x,y) \leqslant g(x,y))

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \lt \iint\limits_{D}g(x,y) \mathrm{d}\sigma \quad (f(x,y) \lt g(x,y))

三角不等式#

\left| \iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \right| \leqslant \iint\limits_{D}|f(x,y)| \mathrm{d}\sigma

二重积分中值定理#

\exists (\xi,\eta) \, s.t. f(\xi,\eta) = \frac{\iint_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma}{\sigma}

计算#

笛卡尔#

X型区域#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int_a^b \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x,y) \, dx \, dy

Y型区域#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int_a^b \int_{\varphi(y)}^{\psi(y)} f(x,y) \, dy \, dx

极坐标#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D}f(\rho\cos{\theta},\rho\sin{\theta}) \rho \, \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta

换元#

\begin{aligned} & \iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D_{u,v}}f(x(u,v),y(u,v)) |J| \mathrm{d}u\mathrm{d}u \\ & J = \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial u} \end{vmatrix} \end{aligned}

三重积分#

定义#

\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, d\sigma = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i \quad (\lambda =max(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n))

性质#

和二重积分类似

计算#

笛卡尔#

投影法#

难点在于投影后的轮廓方程 $D_{xy}$ 怎么求

以投影到xOy平面为例

\begin{aligned} &\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, \mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz} = \iint\limits_{D_{xy}} F(x,y) \, \mathrm{d}x \mathrm{dy} \\ & F(x,y) = \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, \mathrm{dz} \end{aligned}

柱坐标#

\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, d\sigma = \iiint\limits_{\Omega'} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z) \, \rho \mathrm{d\rho}\mathrm{d\theta} \mathrm{dz}

球坐标#

\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, d\sigma = \iiint\limits_{\Omega'} f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi) \, r^2\sin\varphi\mathrm{dr}\mathrm{d\varphi} \mathrm{d\theta}

换元#

和二重类似

曲线积分#

以二维空间上的曲线为例

第一类#

定义#

\int_{\Gamma} f(x,y) \mathrm{ds}

性质#

线性性#

\int_{\Gamma} \alpha f(x,y) + \beta g(x,y) \,\mathrm{ds} = \alpha\int_{\Gamma} f(x,y) \,\mathrm{ds} + \beta\int_{\Gamma} g(x,y) \,\mathrm{ds}

区域可加性#

\int_{\Gamma} f(x,y) \, \mathrm{ds} = \int_{\Gamma_1} f(x,y) \, \mathrm{ds} + \int_{\Gamma_2} f(x,y) \, \mathrm{ds} \quad ((\Gamma_1\cup \Gamma_2=\Gamma) \land (\Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \emptyset))

区域弧长#

\int_{\Gamma} 1 \, \mathrm{ds} = s

弧长方向#

\int_{\overset{\frown}{AB}} f(x,y) \,\mathrm{ds} = \int_{\overset{\frown}{BA}} f(x,y) \,\mathrm{ds}

保号性#

和重积分类似

三角不等式#

和重积分类似

计算#

\int_{\Gamma} f(x,y) \,\mathrm{ds} = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{\varphi(t)^2 + \psi(t)^2} \,\mathrm{dt} \quad (\alpha \lt \beta)

第二类#

定义#

\int_{\Gamma} P(x,y) \,\mathrm{dx} = \lim_{\lambda\rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P(\zeta_i, \eta_i) \,\Delta x_i

计算#

\int_{L^+} P(x,y) \,\mathrm{dx} = -\int_{L^-} P(x,y) \,\mathrm{dx}

\begin{aligned} & \text{L上点}A \rightarrow B \text{对应} \\ & t : \alpha \rightarrow \beta \\ \int_{L} P(x,y) \,\mathrm{dx} & = \int_{\alpha}^{\beta} P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi'(t) \,\mathrm{dx} \end{aligned}

两者联系#

\begin{aligned} \cos\alpha = \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} \\ \cos\beta = \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} \\ \overset{\rightarrow}\varepsilon = (\cos\alpha,\sin\beta) \\ \overset{\rightarrow}A = (P(x,y), Q(x,y)) \\ \mathrm{d\overset{\rightarrow}s} = (\mathrm{dx}, \mathrm{dy}) \\ \int_{L} \overset{\rightarrow}A \cdot \mathrm{d\overset{\rightarrow}s} = \int_{L} \overset{\rightarrow}A \cdot \overset{\rightarrow}\varepsilon \mathrm{ds} \end{aligned}

格林公式#

站在z轴正方向看，将朝向纸内的方向 $\overset{\rightarrow}A$ 和边界任意一点到区域的方向 $\overset{\rightarrow}B$ 的叉乘 $\overset{\rightarrow}A \times \overset{\rightarrow}B$ 的的方向规定为第二类曲线积分正方向，则有格林公式，使用右手定则即可

一般题目会规定曲线正方向，要判断其真正方向是否和格林公式的方向相一致

\iint\limits_{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} \\ P &Q \end{vmatrix} \,\mathrm{d\sigma} = \oint_{L^+}P(x,y) \mathrm{dx} + Q(x,y)\mathrm{dy} \quad (\partial D = L)

若P, Q在D有无定义点则需要构造圆

路径无关条件#

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

曲面积分#

第一类#

定义#

\iint\limits_{\Sigma} u(x,y,z) \,\mathrm{dS} = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n u(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_i

性质#

和其他积分差不多

计算#

投影法#

若曲面 $\Sigma$ 可以写成 $z=z(x,y)$ ，在 $xOy$ 平面上的投影为 $D_{xy}$ ，则

\iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z) \,\mathrm{dS} = \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + z_x^2(x,y) + z_y^2(x,y)} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

同理，若曲面可以写成 $x=x(y,z)$ 或 $y=y(x,z)$ ，则

\begin{aligned} \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z) \,\mathrm{dS} &= \iint\limits_{D_{yz}} f(x(y,z),y,z) \sqrt{1 + x_y^2(y,z) + x_z^2(y,z)} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ &= \iint\limits_{D_{xz}} f(x,y(x,z),z) \sqrt{1 + y_x^2(x,z) + y_z^2(x,z)} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}z \end{aligned}

参数方程#

若曲面由

\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases} \quad ((u,v)\in D)

给出，则

\begin{aligned} &\iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z) \,\mathrm{dS} \\ &= \iint\limits_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \left| \overset{\rightarrow}{r_u} \times \overset{\rightarrow}{r_v} \right| \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}

其中

\overset{\rightarrow}{r_u} = (x_u,y_u,z_u), \quad \overset{\rightarrow}{r_v} = (x_v,y_v,z_v)

几何意义#

\iint\limits_{\Sigma} 1 \,\mathrm{dS} = S

第一类曲面积分和方向无关。

第二类#

定义#

第二类曲面积分是有向曲面积分，与曲面的侧有关。

\iint\limits_{\Sigma} P(x,y,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q(x,y,z)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R(x,y,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

也可以写成向量形式

\iint\limits_{\Sigma} \overset{\rightarrow}{A} \cdot \mathrm{d}\overset{\rightarrow}{S} \quad ( \overset{\rightarrow}{A}=(P,Q,R) )

方向#

若 $\overset{\rightarrow}{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为曲面指定侧的单位法向量，则

\mathrm{d}\overset{\rightarrow}{S} = \overset{\rightarrow}{n}\,\mathrm{dS} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\,\mathrm{dS}

于是

\begin{aligned} \mathrm{d}y\mathrm{d}z &= \cos\alpha\,\mathrm{dS} \\ \mathrm{d}z\mathrm{d}x &= \cos\beta\,\mathrm{dS} \\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \cos\gamma\,\mathrm{dS} \end{aligned}

改变曲面的侧，第二类曲面积分变号。

计算#

投影法#

以 $\Sigma:z=z(x,y)$ 为例，取上侧时

\begin{aligned} &\iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint\limits_{D_{xy}} [-P(x,y,z)z_x(x,y)-Q(x,y,z)z_y(x,y)+R(x,y,z)] \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

取下侧时，结果反号。

只含某一项时，按对应投影直接计算：

\begin{aligned} \iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z &= \pm \iint\limits_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \iint\limits_{\Sigma} Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x &= \pm \iint\limits_{D_{zx}} Q(x,y(z,x),z)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x \\ \iint\limits_{\Sigma} R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \pm \iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

正负号由指定侧的法向量与对应坐标轴正方向是否一致决定。

本质为

\begin{aligned} \iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \iint\limits_{\Sigma_{uv}} \overset{\rightarrow}A(\overset{\rightarrow}{r}) \cdot (\overset{\rightarrow}{r_u} \times \overset{\rightarrow}{r_v}) \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ \overset{\rightarrow}{r} &= (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \\ \overset{\rightarrow}{r_u} &= \frac{\partial\overset{\rightarrow}{r}}{\partial u} \\ \overset{\rightarrow}{r_v} &= \frac{\partial\overset{\rightarrow}{r}}{\partial v} \end{aligned}

$\overset{\rightarrow}{r_u}$ 和 $\overset{\rightarrow}{r_v}$ 是曲面的两条偏切向量，方向也是随着u或v增大的方向，就好像曲线切向量也是随着t增大的方向

参数方程#

若曲面由 $\overset{\rightarrow}{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 给出，则

\iint\limits_{\Sigma} \overset{\rightarrow}{A} \cdot \mathrm{d}\overset{\rightarrow}{S} = \iint\limits_D \overset{\rightarrow}{A}(\overset{\rightarrow}{r}(u,v)) \cdot (\overset{\rightarrow}{r_u}\times\overset{\rightarrow}{r_v}) \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v

若 $\overset{\rightarrow}{r_u}\times\overset{\rightarrow}{r_v}$ 的方向和题目给定方向相反，则积分结果取反。

两者联系#

\begin{aligned} &\iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint\limits_{\Sigma} (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{dS} \end{aligned}

即第二类曲面积分可以看成向量场在法向方向上的第一类曲面积分。

高斯公式#

若闭曲面 $\Sigma$ 取外侧， $\Omega$ 为其围成的空间区域，则

\oiint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

若曲面不是闭曲面，常通过补面构造闭曲面，再用高斯公式。

斯托克斯公式#

若有向曲面 $\Sigma$ 的边界为 $\Gamma$ ，且 $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的法向满足右手定则，和题意或自己规定的正方向没什么关系，看和实际方向符不符合，则

\oint\limits_{\Gamma} P\,\mathrm{d}x +Q\,\mathrm{d}y +R\,\mathrm{d}z = \iint\limits_{\Sigma} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

展开为

\begin{aligned} \oint\limits_{\Gamma} P\,\mathrm{d}x +Q\,\mathrm{d}y +R\,\mathrm{d}z &= \iint\limits_{\Sigma} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ &+ \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x \\ &+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

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10-多元函数积分学

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