公式#

操作顺序可交换#

\begin{aligned} & (A^T)^{-1} = (A^{-1})^{T} \\ & (A^*)^{-1} = (A^{-1})^{*} \\ & (A^*)^{T} = (A^{T})^{*} \end{aligned}

T,*,-1的运算顺序可任意交换

操作倒置#

\begin{aligned} & (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \\ & (AB)^{*} = B^{*}A^{*} \\ & (AB)^{T} = B^{T}A^{T} \end{aligned}

本身为自己的逆运算#

\begin{aligned} & (A^T)^T = A \\ & (A^{-1})^{-1} = A \end{aligned}

转置的优良性#

A^T \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & |A^T| = |A| \\ & (kA)^T = kA^T \\ & (A + B)^T = A^T + B^T \end{aligned} \right.

逆矩阵#

A^{-1}A = E \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \\ & (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \end{aligned} \right.

伴随矩阵#

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $n\ge 2$ 。伴随矩阵 $A^*$ 的定义是代数余子式矩阵的转置，因此无论 $A$ 是否可逆， $A^*$ 都有定义，并且恒有

AA^*=A^*A=|A|E.

只有当 $|A|\ne0$ 时，才能由上式写成

A^*=|A|A^{-1}.

因此， $A^*=|A|A^{-1}$ 不能用来处理不可逆矩阵，也不能作为伴随矩阵的一般定义。对任意方阵 $A$ ，仍有

\left\{ \begin{aligned} & (kA)^{*} = k^{n-1}A^{*} \\ & |A^*| = |A|^{n-1} \\ & (A^*)^* = |A|^{n-2}A \end{aligned} \right.

伴随矩阵的秩#

后面的证明要用到

r(A^*)= \begin{cases} n,&r(A)=n,\\ 1,&r(A)=n-1,\\ 0,&r(A)\le n-2. \end{cases}

证明如下：

若 $r(A)\le n-2$ ，则 $A$ 的所有 $n-1$ 阶子式都为 $0$ ，所以 $A^*=O$ ；
若 $r(A)=n-1$ ，则至少有一个 $n-1$ 阶子式不为 $0$ ，所以 $A^*\ne O$ 。又因为 $AA^*=O$ ， $A^*$ 的每一列都属于一维空间 $\ker A$ ，故 $r(A^*)\le1$ ，最终 $r(A^*)=1$ ；
若 $r(A)=n$ ，则 $A^*=|A|A^{-1}$ 可逆，所以 $r(A^*)=n$ 。

证明 $(kA)^=k^{n-1}A^$ #

$A^*$ 的每个元素都是 $A$ 的某个 $n-1$ 阶子式乘以符号 $(-1)^{i+j}$ 。把 $A$ 的每个元素乘以 $k$ 后，每个 $n-1$ 阶子式都乘以 $k^{n-1}$ ，所以

\boxed{(kA)^*=k^{n-1}A^*}.

这个证明不需要 $A$ 可逆，对 $k=0$ 也成立。

证明 $|A^*|=|A|^{n-1}$ #

若 $A$ 可逆，则

\begin{aligned} |A^*| &=\left||A|A^{-1}\right|\\ &=|A|^n|A^{-1}|\\ &=|A|^n\frac1{|A|}\\ &=|A|^{n-1}. \end{aligned}

若 $A$ 不可逆，则 $|A|=0$ 。根据伴随矩阵的秩公式：

$r(A)\le n-2$ 时， $A^*=O$ ；
$r(A)=n-1$ 时， $r(A^*)=1<n$ 。

两种情况下都有 $|A^*|=0$ ，而 $|A|^{n-1}=0$ ，所以等式对不可逆矩阵仍成立。

证明 $(A^)^=|A|^{n-2}A$ #

若 $A$ 可逆，则 $A^*$ 也可逆，于是

\begin{aligned} (A^*)^* &=|A^*|(A^*)^{-1}\\ &=|A|^{n-1}\left(|A|A^{-1}\right)^{-1}\\ &=|A|^{n-1}\frac1{|A|}A\\ &=|A|^{n-2}A. \end{aligned}

若 $A$ 不可逆，需要区分阶数。

当 $n=2$ 时，设

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \qquad A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},

直接再取一次伴随矩阵可得

(A^*)^*=A=|A|^0A.

当 $n\ge3$ 时，因为 $|A|=0$ ，右侧为

|A|^{n-2}A=O.

另一方面：

若 $r(A)\le n-2$ ，则 $A^*=O$ ，所以 $(A^*)^*=O$ ；
若 $r(A)=n-1$ ，则 $r(A^*)=1\le n-2$ ，所以根据秩公式， $(A^*)^*=O$ 。

因此对不可逆矩阵同样有

\boxed{(A^*)^*=|A|^{n-2}A}.

Note

三个公式对不可逆矩阵都成立；失效的只是中间表示式 $A^*=|A|A^{-1}$ 。遇到奇异矩阵时，应改用代数余子式定义、恒等式 $AA^*=|A|E$ 和秩分类。

分块矩阵#

把矩阵按若干行、若干列切开，每一块当成一个整体参与运算。例如

A= \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{pmatrix}

其中每个 $A_{ij}$ 本身可以是矩阵。

Note

分块以后要先检查每一块的阶数。块与块之间能不能加、能不能乘，本质上还是看普通矩阵的维数是否匹配。

加法与数乘#

两个矩阵按相同方式分块时，才能按块相加：

\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}\\ A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22} \end{pmatrix}

数乘直接乘到每一块：

kA= \begin{pmatrix} kA_{11}&kA_{12}\\ kA_{21}&kA_{22} \end{pmatrix}

乘法#

分块乘法和普通矩阵乘法形式一样，但每个元素换成了矩阵块：

\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{pmatrix}

前提是中间维数匹配，例如 $A_{11}B_{11}$ 和 $A_{12}B_{21}$ 都能相乘，并且结果阶数相同才能相加。

转置#

分块矩阵转置时，块的位置转置，每一块也要转置：

\begin{pmatrix} A&B\\ C&D \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} A^T&C^T\\ B^T&D^T \end{pmatrix}

分块对角矩阵#

若每个 $A_i$ 都是方阵，且

A= \begin{pmatrix} A_1&0&\cdots&0\\ 0&A_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&A_s \end{pmatrix}

则

|A|=|A_1||A_2|\cdots |A_s|

若每个 $A_i$ 都可逆，则

A^{-1}= \begin{pmatrix} A_1^{-1}&0&\cdots&0\\ 0&A_2^{-1}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&A_s^{-1} \end{pmatrix}

分块三角矩阵#

若主对角线上的块都是方阵，则

\begin{vmatrix} A&B\\ 0&D \end{vmatrix} =|A||D|,\qquad \begin{vmatrix} A&0\\ C&D \end{vmatrix} =|A||D|

对应的逆矩阵：

\begin{pmatrix} A&B\\ 0&D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1}&-A^{-1}BD^{-1}\\ 0&D^{-1} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} A&0\\ C&D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1}&0\\ -D^{-1}CA^{-1}&D^{-1} \end{pmatrix}

其中 $A,D$ 均需可逆。

Schur 补#

对二阶分块矩阵

M= \begin{pmatrix} A&B\\ C&D \end{pmatrix}

若 $A$ 可逆，则

|M|=|A|\cdot |D-CA^{-1}B|

其中

D-CA^{-1}B

叫做关于 $A$ 的 Schur 补。

若 $D$ 可逆，也可以写成

|M|=|D|\cdot |A-BD^{-1}C|

Tip

不要把 $|M|$ 直接写成 $|A||D|-|B||C|$ 。一般矩阵块不能这样拆，只有低阶数值行列式才有类似形式。

分块初等变换#

当块大小匹配时，可以像普通行列变换一样做分块变换：

块行变换左乘，块列变换右乘

\begin{pmatrix} E&O\\ -CA^{-1}&E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A&B\\ C&D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A&B\\ O&D-CA^{-1}B \end{pmatrix}

这就是 Schur 补公式的来源：左边乘的分块矩阵行列式为 $1$ ，所以行列式不变。

常见用途：

化成分块三角矩阵
计算含零块的行列式
求分块矩阵的逆
处理线性方程组中的变量消元

分块矩阵方程组#

当系数矩阵是分块矩阵时，可以把未知向量和常数向量也按相同方式分块。

例如

\begin{pmatrix} A&B\\ C&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}

等价于方程组

\left\{ \begin{aligned} Ax_1+Bx_2&=b_1\\ Cx_1+Dx_2&=b_2 \end{aligned} \right.

Note

分块以后每个乘积都要满足维数匹配，例如 $Ax_1$ 和 $Bx_2$ 必须是同型列向量，才能相加等于 $b_1$ 。

分块三角方程组#

若

\begin{pmatrix} A&B\\ O&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}

且 $A,D$ 都可逆，则先解第二个方程：

Dx_2=b_2

得到

x_2=D^{-1}b_2

再代回第一个方程：

Ax_1+Bx_2=b_1

得到

x_1=A^{-1}(b_1-BD^{-1}b_2)

所以

\left\{ \begin{aligned} x_2&=D^{-1}b_2\\ x_1&=A^{-1}(b_1-BD^{-1}b_2) \end{aligned} \right.

同理，若是下三角分块矩阵

\begin{pmatrix} A&O\\ C&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}

则先解

Ax_1=b_1

再解

Cx_1+Dx_2=b_2

得到

\left\{ \begin{aligned} x_1&=A^{-1}b_1\\ x_2&=D^{-1}(b_2-CA^{-1}b_1) \end{aligned} \right.

Schur 补消元#

对一般二阶分块方程组

\left\{ \begin{aligned} Ax_1+Bx_2&=b_1\\ Cx_1+Dx_2&=b_2 \end{aligned} \right.

若 $A$ 可逆，可以先由第一个方程表示

x_1=A^{-1}(b_1-Bx_2)

代入第二个方程：

CA^{-1}(b_1-Bx_2)+Dx_2=b_2

整理得

(D-CA^{-1}B)x_2=b_2-CA^{-1}b_1

其中

D-CA^{-1}B

就是关于 $A$ 的 Schur 补。

如果 $D-CA^{-1}B$ 也可逆，则

\left\{ \begin{aligned} x_2&=(D-CA^{-1}B)^{-1}(b_2-CA^{-1}b_1)\\ x_1&=A^{-1}(b_1-Bx_2) \end{aligned} \right.

若 $D$ 可逆，也可以先消去 $x_2$ 。由第二个方程

x_2=D^{-1}(b_2-Cx_1)

代入第一个方程，得到

(A-BD^{-1}C)x_1=b_1-BD^{-1}b_2

其中

A-BD^{-1}C

是关于 $D$ 的 Schur 补。

如果 $A-BD^{-1}C$ 也可逆，则

\left\{ \begin{aligned} x_1&=(A-BD^{-1}C)^{-1}(b_1-BD^{-1}b_2)\\ x_2&=D^{-1}(b_2-Cx_1) \end{aligned} \right.

Tip

解分块方程组的核心不是把每一块当成数，而是用可逆块做消元。选哪个块消元，通常看 $A$ 或 $D$ 哪个更容易求逆。

秩#

证明一般由

矩阵子式不等于0的最高阶
线性表示
极大线性无关组
转化为分块矩阵使用二级结论

进行证明，

子式#

在矩阵里任选k行和k列组成的行列式为k阶子式，存在等于矩阵秩的非0子式，大于矩阵秩的子式全为0

不等式证明#

下面默认矩阵阶数都满足运算要求。记 $r(A)$ 为矩阵 $A$ 的秩。

基本不等式#

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则

0\le r(A)\le \min\{m,n\}

并且

r(A)=r(A^T)

因为行秩等于列秩，转置只是在交换行空间和列空间。

加法不等式#

若 $A,B$ 同型，则

r(A+B)\le r(A)+r(B)

证明：

把 $A,B,A+B$ 按列写成

A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\qquad B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)

则

A+B=(\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,\cdots,\alpha_n+\beta_n)

每一列 $\alpha_i+\beta_i$ 都能由向量组

\alpha_1,\cdots,\alpha_n,\beta_1,\cdots,\beta_n

线性表示。

所以 $A+B$ 的列向量组能由 $A,B$ 的全部列向量组成的向量组线性表示，因此

r(A+B)\le r\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}\le r(A)+r(B)

乘法上界#

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $B$ 是 $n\times p$ 矩阵，则

r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}

证明一：证明 $r(AB)\le r(A)$

把 $B$ 按列写成

B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p)

则

AB=(A\beta_1,A\beta_2,\cdots,A\beta_p)

而 $A\beta_i$ 是 $A$ 的列向量的线性组合，所以 $AB$ 的每一列都能由 $A$ 的列向量组线性表示。

因此

r(AB)\le r(A)

证明二：证明 $r(AB)\le r(B)$

转置后

r(AB)=r((AB)^T)=r(B^TA^T)

由证明一可知

r(B^TA^T)\le r(B^T)=r(B)

所以

r(AB)\le r(B)

分块上三角矩阵秩不等式#

r\begin{pmatrix} A&C\\ O&B \end{pmatrix}\ge r(A)+r(B)

证明：

设

r(A)=r_a,\qquad r(B)=r_b

则 $A,B$ 分别存在一个 $r_a,r_b$ 级满秩子矩阵 $A_1,B_1$ ，即

|A_1|\ne 0,\qquad |B_1|\ne 0

在

D= \begin{pmatrix} A&C\\ O&B \end{pmatrix}

中，取出 $A_1$ 所在的行列和 $B_1$ 所在的行列，同时在右上角取对应的子块 $C_1$ ，得到一个 $r_a+r_b$ 阶子矩阵

\begin{pmatrix} A_1&C_1\\ O&B_1 \end{pmatrix}

它是分块上三角矩阵，所以

\begin{vmatrix} A_1&C_1\\ O&B_1 \end{vmatrix} =|A_1||B_1|\ne 0

因此 $D$ 存在一个 $r_a+r_b$ 阶非零子式，所以

r(D)\ge r_a+r_b=r(A)+r(B)

Sylvester 不等式#

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $B$ 是 $n\times p$ 矩阵，则

r(AB)\ge r(A)+r(B)-n

这是乘法秩的下界，和上界合起来是

r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}

证明：

构造分块矩阵

D= \begin{pmatrix} A&O\\ E_n&B \end{pmatrix}

其中 $E_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。因为

r(D)=r(D^T) =r\begin{pmatrix} A^T&E_n\\ O&B^T \end{pmatrix} \ge r(A^T)+r(B^T)=r(A)+r(B)

所以

r(D)\ge r(A)+r(B)

另一方面，对 $D$ 做分块初等变换：

\begin{pmatrix} E_m&-A\\ O&E_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A&O\\ E_n&B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O&-AB\\ E_n&B \end{pmatrix}

再对列做分块初等变换：

\begin{pmatrix} O&-AB\\ E_n&B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_n&-B\\ O&E_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O&-AB\\ E_n&O \end{pmatrix}

这些变换都不改变秩。把最后一个矩阵交换分块行、分块列，可化成

\begin{pmatrix} E_n&O\\ O&-AB \end{pmatrix}

所以

r(D)=n+r(AB)

于是

r(A)+r(B)\le r(D)=n+r(AB)

即

r(AB)\ge r(A)+r(B)-n

Frobenius 不等式#

若 $ABC$ 有意义，则

r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B)

证明：

考虑分块对角矩阵：

\begin{aligned} r(ABC)+r(B) &= r\begin{pmatrix} ABC&O\\ O&B \end{pmatrix}\\ &= r\begin{pmatrix} O&-AB\\ BC&B \end{pmatrix}\\ &= r\begin{pmatrix} BC&B\\ O&-AB \end{pmatrix}\\ &= r\begin{pmatrix} BC&B\\ O&AB \end{pmatrix}\\ &\ge r(BC)+r(AB) \end{aligned}

其中等号来自分块初等行列变换和交换分块行，秩不变；最后一步使用分块上三角矩阵秩不等式。

于是

r(ABC)+r(B)\ge r(BC)+r(AB)

即

r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B)

分块矩阵中的秩#

横向拼接时：

\max\{r(A),r(B)\}\le r\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}\le r(A)+r(B)

证明： $\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}$ 的列向量组包含 $A$ 的全部列向量，也包含 $B$ 的全部列向量，所以它的秩至少不小于 $r(A),r(B)$ 中较大的一个。

另一方面，取 $A$ 的一个极大线性无关组和 $B$ 的一个极大线性无关组，合在一起最多有 $r(A)+r(B)$ 个向量。 $A,B$ 的全部列向量都能由这组向量线性表示，所以拼接矩阵的列向量组也能由它线性表示。因此

r\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}\le r(A)+r(B)

纵向拼接时：

\max\{r(A),r(B)\}\le r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\le r(A)+r(B)

证明：转置后变成横向拼接：

r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} =r\begin{pmatrix}A^T&B^T\end{pmatrix}

再用横向拼接结论。

分块对角矩阵：

r\begin{pmatrix} A&0\\ 0&B \end{pmatrix} =r(A)+r(B)

因为两个块分别作用在互不相交的行列位置上，互不产生线性组合关系。

常用推论#

若 $P,Q$ 可逆，则

r(PAQ)=r(A)

因为

r(PAQ)\le r(A)

又

A=P^{-1}(PAQ)Q^{-1}

所以

r(A)\le r(PAQ)

两边合起来得到等号。

若 $A$ 可逆，则

r(AB)=r(B),\qquad r(BA)=r(B)

本质上是左乘或右乘可逆矩阵不改变秩。

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公式#

操作顺序可交换#

操作倒置#

本身为自己的逆运算#

转置的优良性#

逆矩阵#

伴随矩阵#

伴随矩阵的秩#

证明 $(kA)^=k^{n-1}A^$ #

证明 $|A^*|=|A|^{n-1}$ #

证明 $(A^)^=|A|^{n-2}A$ #

分块矩阵#

加法与数乘#

乘法#

转置#

分块对角矩阵#

分块三角矩阵#

Schur 补#

分块初等变换#

分块矩阵方程组#

分块三角方程组#

Schur 补消元#

秩#

子式#

不等式证明#

基本不等式#

加法不等式#

乘法上界#

分块上三角矩阵秩不等式#

Sylvester 不等式#

Frobenius 不等式#

分块矩阵中的秩#

常用推论#

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15-矩阵

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操作顺序可交换#

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转置的优良性#

逆矩阵#

伴随矩阵#

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证明 (kA)∗=kn−1A∗(kA)^*=k^{n-1}A^*(kA)∗=kn−1A∗#

证明 ∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1#

证明 (A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^*=|A|^{n-2}A(A∗)∗=∣A∣n−2A#

分块矩阵#

加法与数乘#

乘法#

转置#

分块对角矩阵#

分块三角矩阵#

Schur 补#

分块初等变换#

分块矩阵方程组#

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秩#

子式#

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基本不等式#

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Frobenius 不等式#

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证明 $(kA)^=k^{n-1}A^$ #

证明 $|A^*|=|A|^{n-1}$ #

证明 $(A^)^=|A|^{n-2}A$ #