排列定义#

$n$ 阶行列式

定义为

其中 $S_n$ 是所有排列，$\tau(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的逆序数。

直观理解：每一项从每一行、每一列各取一个元素，相乘后按排列奇偶性决定正负号。

低阶公式#

二阶：

三阶：

多重线性#

行列式对每一行、每一列都是线性的。固定其它行，若某一行满足

则

常用推论：

• 某一行提出公因子 $k$，行列式整体乘 $k$
• 某一行全为 $0$，行列式为 $0$
• 若整行同时乘 $k$，不要误以为每个元素都乘 $k$ 后行列式乘 $k^n$；只乘 $k$

交错性#

交换两行或两列，行列式变号：

若有两行或两列相同，则行列式为 $0$；更一般地，若行向量或列向量线性相关，则行列式为 $0$。

初等变换#

对行列式做初等行变换时：

列变换同理。计算时最常用的是 $R_i+kR_j$，因为它不改变行列式。

转置与乘法#

若 $A$ 可逆，则

伴随矩阵#

设 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则

若 $A$ 可逆，

化三角#

把行列式通过不改变值的变换 $R_i+kR_j$ 化成上三角或下三角：

展开法#

元素 $a_{ij}$ 的代数余子式：

其中 $M_{ij}$ 是删去第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的余子式。

按第 $i$ 行展开：

按第 $j$ 列展开：

展开时优先选择 $0$ 多的行或列。

加边法#

有些行列式不容易直接展开，可以通过增加一行一列构造更规整的行列式，再化简。常见目标是把分散的和式、常数项或参数放到新增的第一行第一列中。

典型思路：

1. 先构造一个高一阶行列式
2. 对新增行或列做初等变换
3. 再按新增行或列展开，回到原行列式

递推法#

若 $D_n$ 是一类 $n$ 阶行列式，可以按第一行、最后一行或中间某一行展开，得到

再结合初值 $D_1,D_2$ 求通项。

三角#

上三角、下三角、对角行列式都等于主对角线元素之积：

分块三角也类似：

爪型#

爪型行列式的非零元集中在第一行、第一列和主对角线：

它的非零项只有两类：

1. 全取主对角线，得到 $a_1a_2\cdots a_n$
2. 取 $b_k,c_k$ 这一对，再取其它主对角线元素，符号为负

所以

例如三阶：

若 $a_2,\dots,a_n$ 都不为 $0$，也可以写成更好记的形式：

图形由标准爪型旋转或镜像得到时，先交换行列化成标准形，再记交换次数带来的正负号。

么型#

么型行列式的非零元集中在主对角线、上一条对角线和最后一行：

按第一列展开，得到一个小一阶的么型和一个三角行列式：

第二个行列式是三角形，值为 $b_1b_2\cdots b_{n-1}$，所以递推为

其中 $D_{n-1}$ 是删去第一行第一列后得到的小一阶么型。

继续递推可得通式：

其中空乘积记为 $1$。

例如三阶：

如果图形是由这种标准么型旋转或镜像得到的，先通过交换行列把它化回标准形，再套公式；交换一次行或列，行列式变号一次。

川型#

这里把只在主对角线和相邻两条副对角线上非零的行列式称为川型，也就是三对角行列式：

按最后一行或最后一列展开，可得递推：

初值为

若 $a_i=a,\ b_i=c_i=b$，则

常见特例：

范德蒙德#

范德蒙德行列式：

公式：

例如三阶：

判断方法：列与列之间只差一个变量 $x_i$，行是 $1,x,x^2,\dots$ 的幂次递增。