带有求和的极限#

裂项#

无穷级数#

转化为了无穷级数

不带有求和的极限#

一般只需要用以下三个即可进行秒杀，十分简单

性质#

反例

1. 原函数处处可导，其导函数不一定连续，导函数不可能有第一类间断点

2. 若原函数连续，并$\exists \mathring{U}(x_0) \space s.t. \forall x \in \mathring{U}(x_0)有\exists f'(x)$，则假如导函数极限收敛，那么导数存在且数值等于导函数极限，导函数是没有第一类间断点的，所以左右极限只可能都收敛于同一个值；假如导函数极限发散，则导数可能存在也可能不存在。总体来说导函数的极限和导数的关系类似于洛必达，收敛必定是，发散不一定。 以导函数右极限=右导数为例

   $$\begin{aligned} \lim_{\xi\rightarrow x_0^+}{f'(\xi)}\text{ 收敛，}[x_0,x]\text{ 连续，}(x_0, x)\text{ 可导} \Rightarrow \exists \xi \in (x_0, x) \space s.t. f'(\xi) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\ x \rightarrow x_0^+\text{ 时，有 }\xi \rightarrow x_0^+ \text{（总存在 }\theta(x) \space s.t. \xi(x) = x_0 + \theta(x)\cdot|x - x_0|, 0 < \theta(x) < 1\text{），故有} \\ \lim_{x\rightarrow x_0^+}{\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = \lim_{x\rightarrow x_0^+}{f'(\xi)} \overset{\lim_{\xi\rightarrow x_0^+}{f'(\xi)}\text{ 收敛}}{=} \lim_{\xi\rightarrow x_0^+}{f'(\xi)} \qquad\square \\ \end{aligned}$$ $$\text{假如 }\lim_{\xi\rightarrow x_0^+}{f'(\xi)}\text{ 发散，则右导数可能存在也可能不存在，可由经典函数 }x^{\alpha}sin{\frac{1}{x^{\beta}}}\text{ 进行反例构造 }$$