反常积分的收敛性#

反常积分的核心是：先在正常区间上积分，再看积分端点趋向无穷远或瑕点时，是否存在有限极限。判断敛散性通常不需要求出原函数。

定义与拆分#

以下默认被积函数在避开瑕点的每个闭区间上可积。

无穷区间上的反常积分定义为

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx =\lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)\,dx.

若 $a$ 为瑕点，则

\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.

右端点为瑕点时同理。极限为无穷或不存在，都叫发散。

有多个反常端点或内部瑕点时，必须拆开，逐段判断；每一段都收敛，原积分才收敛。 例如 $c\in(a,b)$ 是瑕点时， $\int_a^c f$ 与 $\int_c^b f$ 必须分别收敛；对整个实轴的积分，也要在任意有限点拆成两段。

收敛性只取决于各个反常端点附近的行为。在没有其他瑕点的有限区间内改变函数，只要仍可积，就不改变敛散性。

收敛性判断 DAG#

下面的箭头表示判断步骤。每个反常端点都走一遍流程；判别法不适用或没有得到结论时，应改用其他工具，不能直接判为发散。

flowchart TD A["找出无穷端点与所有瑕点"] --> B["拆成只有一个反常端点的积分"] B --> C{"能否直接求截断积分的极限？"} C -->|能| D{"极限是否存在且有限？"} D -->|是| E["该段收敛"] D -->|否| F["该段发散"] C -->|不易求| G{"端点附近是否固定符号？"} G -->|是，必要时取负号| H["非负函数：比较或极限比较"] H --> I["选幂函数、对数修正等基准积分"] I --> J{"比较判别的结果"} J -->|收敛| E J -->|发散| F G -->|否| K["先判断绝对值积分"] K -->|收敛| L["绝对收敛，因此收敛"] K -->|发散或尚不能判定| M["考察振荡：狄利克雷、阿贝尔、分部积分"] M -->|证明收敛| E E --> N["若另已证明绝对值积分发散，则为条件收敛"] M -->|仍无结论| O["回到截断积分或柯西准则"] J -->|无结论| O

绝对值积分发散，只能排除绝对收敛，不能据此断定原积分发散。

判别法之间的依赖#

这里的箭头表示一条常见证明路线中的依赖关系，不表示无条件的逻辑蕴含；多个入箭头表示要组合使用相应工具。

flowchart TD A["反常积分定义：截断积分的有限极限"] --> C["柯西收敛准则：任意尾段积分一致变小"] B["实数完备性与极限理论"] --> C A --> D["非负函数：截断积分有上界当且仅当收敛"] B --> D D --> E["比较判别法"] E --> F["极限比较与正函数等价替换"] G["积分三角不等式"] --> H["绝对收敛推出收敛"] C --> H I["分部积分＋有界原函数＋单调趋零因子"] --> J["狄利克雷判别法"] C --> J J --> K["阿贝尔判别法"] L["收敛积分的原函数有界＋单调有界函数有极限"] --> K

非负函数：比较与极限比较#

若 $f\ge0$ ，则 $F(R)=\int_a^R f(x)\,dx$ 单调递增，因此

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx\text{ 收敛} \iff F(R)\text{ 有上界}.

这就是比较判别法的基础。以下不等式只需在所讨论的反常端点附近成立，其他部分正常可积即可。

若 $0\le f(x)\le Cg(x)$ ，其中 $C>0$ ，则：

$\int g$ 收敛，推出 $\int f$ 收敛：用可积的较大函数控制它。
$\int f$ 发散，推出 $\int g$ 发散：较大的非负函数也无法积出有限值。

反过来，“较大函数发散”和“较小函数收敛”都不能给出结论。

若 $f\ge0$ 、 $g>0$ ，在所讨论的端点有

\lim\frac{f(x)}{g(x)}=L,

则极限比较规则为：

比值极限	能得到的结论
$0<L<+\infty$	$\int f$ 与 $\int g$ 同敛散
$L=0$	$\int g$ 收敛 $\Rightarrow\int f$ 收敛； $\int f$ 发散 $\Rightarrow\int g$ 发散
$L=+\infty$	$\int g$ 发散 $\Rightarrow\int f$ 发散； $\int f$ 收敛 $\Rightarrow\int g$ 收敛

特别地，对非负函数， $f\sim g$ 可以直接用于敛散性判断。其原因是比值最终被两个正常数夹住，从而可以双向比较。对变号函数，不能直接照搬这一结论来判断条件收敛。

常用基准：幂次与对数临界情形#

最容易混淆的是无穷远和有限瑕点的条件方向相反：

\boxed{\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\text{ 收敛}\iff p>1}, \qquad \boxed{\int_0^1\frac{dx}{x^p}\text{ 收敛}\iff p<1}.

这是因为 $p\ne1$ 时原函数为 $x^{1-p}/(1-p)$ ：无穷远要求它不再增长，零点附近要求它不爆炸； $p=1$ 时原函数为 $\ln x$ ，两种积分都发散。

在有限瑕点 $a$ 附近，若 $f(x)\sim C|x-a|^{-p}$ 且 $C>0$ ，则该侧积分当且仅当 $p<1$ 时收敛。在无穷远，若 $f(x)\sim Cx^{-p}$ ，则当且仅当 $p>1$ 时收敛。

当幂次恰好为 $1$ 时，要继续看对数因子：

\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^q}\text{ 收敛}\iff q>1,

\int_0^{e^{-1}}\frac{dx}{x[\ln(1/x)]^q}\text{ 收敛}\iff q>1.

分别令 $t=\ln x$ 和 $t=\ln(1/x)$ ，两者都化成 $\int_1^{+\infty}t^{-q}\,dt$ 。这里下限或上限的选取避开了对数为零产生的新瑕点。

变号函数：绝对收敛与振荡#

若 $\int |f(x)|\,dx$ 收敛，则 $\int f(x)\,dx$ 收敛，称为绝对收敛。若原积分收敛但绝对值积分发散，则称为条件收敛。

绝对收敛可以沿用非负函数的比较工具。例如 $p>1$ 时， $|\sin x/x^p|\le x^{-p}$ ，所以 $\int_1^{+\infty}\sin x/x^p\,dx$ 绝对收敛。

狄利克雷判别法#

设 $u$ 局部可积，其截断积分一致有界，即

U(R)=\int_a^R u(x)\,dx,\qquad |U(R)|\le M,

且 $v(x)$ 单调趋于 $0$ ，则

\int_a^{+\infty}u(x)v(x)\,dx\text{ 收敛}.

关键是振荡因子的累积积分有界，仅有 $u$ 本身有界不够。直观上，振荡抵消控制了累积量，单调趋零的因子使尾部贡献消失。

在 $v$ 连续可微的常见情形，对 $S>R$ 令 $U_R(t)=\int_R^t u(x)\,dx$ ，则 $|U_R(t)|\le2M$ 。分部积分给出

\int_R^S uv =U_R(S)v(S)-\int_R^S U_R(t)v'(t)\,dt,

再由 $v$ 单调趋零得到尾段积分绝对值不超过 $2M|v(R)|\to0$ 。一般单调情形可用积分第二中值定理证明。

例如 $\int_1^R\sin x\,dx=\cos1-\cos R$ 有界，而 $1/x$ 单调趋零，所以 $\int_1^{+\infty}\sin x/x\,dx$ 收敛。但在每个区间 $[k\pi+\pi/6,k\pi+5\pi/6]$ 上， $|\sin x|\ge1/2$ ，从而对整数 $k\ge1$ ，

\int_{k\pi+\pi/6}^{k\pi+5\pi/6}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge\frac{1}{3(k+1)}.

这些互不相交区间的贡献之和发散，因此原积分是条件收敛。

阿贝尔判别法#

若 $\int_a^{+\infty}u(x)\,dx$ 已经收敛，且 $v(x)$ 单调有界，则 $\int_a^{+\infty}u(x)v(x)\,dx$ 收敛。

这里 $v$ 不必趋于零。因为单调有界保证 $v(x)\to\ell$ ，将 $v$ 拆为 $\ell+(v-\ell)$ ：常数部分使用原积分的收敛性，剩余部分使用狄利克雷判别法。注意，阿贝尔要求 $\int u$ 收敛，比狄利克雷要求的“截断积分有界”更强。

最终依据：柯西收敛准则#

无穷区间积分收敛，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $A$ ，使得任意 $S>R>A$ 都有

\left|\int_R^S f(x)\,dx\right|<\varepsilon.

它控制的是任意足够靠后的尾段。仅验证 $\int_R^{R+1}f(x)\,dx\to0$ 不够，例如 $f(x)=1/x$ 满足这一条件，但积分发散。

有限瑕点 $a$ 处对应为：对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得 $a<r<s<a+\delta$ 时 $|\int_r^s f|<\varepsilon$ 。比较法不方便、存在强振荡或需要证明发散时，往往要回到这一准则。

综合例子与易错点#

考虑参数积分

I(p)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p(1+x)},\qquad p\in\mathbb R.

在 $x=1$ 处拆开：零点附近被积函数等价于 $x^{-p}$ ，要求 $p<1$ ；无穷远等价于 $x^{-(p+1)}$ ，要求 $p>0$ 。两端同时满足，故

\boxed{I(p)\text{ 收敛}\iff 0<p<1}.

判断时还要留意：

趋于零不够。 $1/x\to0$ ，但 $\int_1^{+\infty}dx/x$ 发散。也不能把级数的“通项必须趋零”照搬到一般反常积分：收敛的积分可以来自越来越窄的连续尖峰，而函数不趋零。若函数在无穷远确实有极限，则积分收敛要求该极限为 $0$ 。
相减后再找主阶。 如 $x\to0$ 时 $1-\cos x\sim x^2/2$ ，故 $(1-\cos x)/x^p\sim x^{2-p}/2$ ，零点附近可积当且仅当 $p<3$ 。只看分母会漏掉分子的抵消。
换元要连同微分一起处理。 令 $x=1/t$ ，有 $\int_1^{+\infty}f(x)\,dx=\int_0^1 f(1/t)t^{-2}\,dt$ ，不能漏掉 $t^{-2}$ 。
柯西主值不等于普通收敛。 $\int_{-1}^1 dx/x$ 的两侧积分分别发散，所以反常积分发散；但对称截断的 $\lim_{\varepsilon\to0^+}(\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x+\int_{\varepsilon}^1dx/x)=0$ ，只是柯西主值。使用奇偶性前，须先确认普通积分存在。

技巧#

区间置换#

\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt,\quad x = \varphi(t), \quad x=a \Rightarrow t=\alpha,\quad x=b \Rightarrow t=\beta

\int_a^b{f(x)}\,dx = \int_a^b{f(a+b-x)}\,dx

\int_a^b{f(x)}\,dx = \int_{a-offset}^{b-offset}{f(x+offset)}\,dx\

\int_a^b{f(x)}\,dx = \int_{offset-b}^{offset-a}{f(offset-x)}\,dx\

华里式公式#

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ \\ \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{ 为奇数} \end{cases}

$f(sinx)$ 积分的特殊性质#

\begin{aligned} & \int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx \\ & \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)\,dx \\ & \int_0^{\pi} x\,f(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx \end{aligned}

奇偶函数积分的特殊性质#

奇函数#

f(-x) = -f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0

偶函数#

f(-x) = f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx

任意函数拆分#

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a \frac{f(x)+f(-x)}{2}\,dx

留数定理#

数一三角函数的积分有时候可以用留数定理逃课

\int_0^{2\pi} R(\sin x,\cos x)\,dx

设 $z = e^{ix}$

\cos x = \frac{z + z^{-1}}{2}, \quad \sin x = \frac{z - z^{-1}}{2i}, \quad dx = \frac{dz}{iz}

化成单位圆上的复积分，

\oint_{|z|=1} f(z)\,dz

\oint f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(\text{单位圆内})

化成

f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}, \quad h(z_0)=0,\; h'(z_0)\neq 0

\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}\text{或者}\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)

如

\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a + b\cos x}, \quad a>|b|

结果为

\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - b^2}}

万能三角代换#

t=\tan\frac{x}{2}

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}

dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt

t=\tan\frac{x}{2} \;\Longleftrightarrow\; x=2\arctan t

x: 0 \to \pi \quad \Rightarrow \quad t: 0 \to +\infty

x: -\pi \to \pi \quad \Rightarrow \quad t: -\infty \to +\infty

x: 0 \to 2\pi \quad \Rightarrow \quad t: 0 \to +\infty \to 0

R(\sin x,\cos x)\,dx \;\Longrightarrow\; R\!\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt

倒代换#

优势区间非常狭窄，很少用，一般只有在

f(x) \quad \text{与} \quad f\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{1}{x^2}

之间有简单关系时才用，意味着要有反演对称关系

正则化#

乘上 $e^{-\alpha x}$ 转化成关于 $\alpha$ 的函数并对其求导和重新积分

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判别法之间的依赖#

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常用基准：幂次与对数临界情形#

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狄利克雷判别法#

阿贝尔判别法#

最终依据：柯西收敛准则#

综合例子与易错点#

技巧#

区间置换#

华里式公式#

$f(sinx)$ 积分的特殊性质#

奇偶函数积分的特殊性质#

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