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数学 17 算法 15 杂项 7 生活 6 题解 4 课内 2 小说 1 待做 1

364 字

2 分钟

5-积分

2026-04-30

2026-05-07

数学

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积分

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高数

技巧#

区间置换#

\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt,\quad x = \varphi(t), \quad x=a \Rightarrow t=\alpha,\quad x=b \Rightarrow t=\beta

\int_a^b{f(x)}\,dx = \int_a^b{f(a+b-x)}\,dx

\int_a^b{f(x)}\,dx = \int_{a-offset}^{b-offset}{f(x+offset)}\,dx\

\int_a^b{f(x)}\,dx = \int_{offset-b}^{offset-a}{f(offset-x)}\,dx\

华里式公式#

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ \\ \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{ 为奇数} \end{cases}

$f(sinx)$ 积分的特殊性质#

\begin{aligned} & \int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx \\ & \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)\,dx \\ & \int_0^{\pi} x\,f(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x)\,dx \end{aligned}

奇偶函数积分的特殊性质#

奇函数#

f(-x) = -f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0

偶函数#

f(-x) = f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx

任意函数拆分#

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a \frac{f(x)+f(-x)}{2}\,dx

留数定理#

数一三角函数的积分有时候可以用留数定理逃课

\int_0^{2\pi} R(\sin x,\cos x)\,dx

设 $z = e^{ix}$

\cos x = \frac{z + z^{-1}}{2}, \quad \sin x = \frac{z - z^{-1}}{2i}, \quad dx = \frac{dz}{iz}

化成单位圆上的复积分，

\oint_{|z|=1} f(z)\,dz

\oint f(z)\,dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(\text{单位圆内})

化成

f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}, \quad h(z_0)=0,\; h'(z_0)\neq 0

\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}\text{或者}\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)

如

\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a + b\cos x}, \quad a>|b|

结果为

\int_0^{2\pi} \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - b^2}}

万能三角代换#

t=\tan\frac{x}{2}

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}

dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt

t=\tan\frac{x}{2} \;\Longleftrightarrow\; x=2\arctan t

x: 0 \to \pi \quad \Rightarrow \quad t: 0 \to +\infty

x: -\pi \to \pi \quad \Rightarrow \quad t: -\infty \to +\infty

x: 0 \to 2\pi \quad \Rightarrow \quad t: 0 \to +\infty \to 0

R(\sin x,\cos x)\,dx \;\Longrightarrow\; R\!\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt

倒代换#

优势区间非常狭窄，很少用，一般只有在

f(x) \quad \text{与} \quad f\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{1}{x^2}

之间有简单关系时才用，意味着要有反演对称关系

正则化#

乘上 $e^{-\alpha x}$ 转化成关于 $\alpha$ 的函数并对其求导和重新积分

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5-积分

https://skaco2.com/posts/02-math/5-积分/

作者

SKACO2

发布于

2026-04-30

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

6-最值，极值，拐点，曲率

4-C++类型转换

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