各种结构的微分方程通过各种方式来分离变量

总览#

graph LR a["可分离变量"] b["有理分式"] b --->|"换元"| a

可分离变量#

f(y) dy = g(x) dx

有理分式#

\left\{ \begin{aligned} & y' = \varphi(u), \\ & u = \frac{ay + f_1(x)}{by + f_2(x)} \end{aligned} \right.

当且仅当 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 是线性函数时有

\begin{aligned} & y = -\frac{f_1 - f_2u}{a-bu} \\ & \frac{du}{F(u)} = \frac{dx}{af_2 - bf_1} \\ & F(u) = (a-bu)^2(\frac{f_1'-f_2'u}{a-bu} + \varphi(u)) \end{aligned}

一阶线性微分方程#

变系数齐次#

\begin{aligned} & y' + P(x)y = 0 \\ & y = \pm e^{\int -P(x) dx} = C \cdot e^{\int{-P(x)}dx} \end{aligned}

变系数非齐次#

y' + P(x)y = Q(x)

使用常数变易法，设 $y = u e^{\int{-P(x)}dx}$

\begin{aligned} & y' = u'e^{\int{-P(x)}dx} - P(x) ue^{\int{-P(x)}dx} = u'e^{\int{-P(x)}dx} - P(x)y \\ & y' + P(x)y = u'e^{\int{-P(x)}dx} = Q(x) \\ & du = Q(x)e^{\int{P(x)}dx} dx \\ & y = \int{Q(x)e^{\int{P(x)}dx} dx}\cdot e^{\int{-P(x)}dx} \end{aligned}

高阶线性微分方程#

二阶线性微分方程#

变系数齐次#

y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0

1. 已知一特解（降阶法）#

已知一解 $y_1$ ，设：

y_2 = u(x) y_1

计算：

\begin{aligned} y_2' &= u'y_1 + uy_1' \\ y_2'' &= u''y_1 + 2u'y_1' + uy_1'' \end{aligned}

代入原方程，并利用 $y_1$ 满足原方程消去项，得到：

u''y_1 + u'(2y_1' + P(x)y_1) = 0

令：

v = u'

得到一阶方程：

v' + \left(2\frac{y_1'}{y_1} + P(x)\right)v = 0

解得：

v = \frac{C}{y_1^2} e^{-\int P(x)dx}

再积分：

u = \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2} dx

最终：

y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2} dx

通解#

y = C_1 y_1 + C_2 y_2

变系数非齐次#

y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)

1. 已知一特解#

若已知一个特解 $y_1$ ，设：

y = u y_1

代入可得关于 $u$ 的一阶非齐次微分方程：

\Rightarrow \text{降阶后再求解}

2. 已知齐次解#

已知齐次解：

y_1, \; y_2

设：

y = C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2

附加条件：

\begin{cases} C_1' y_1 + C_2' y_2 = 0 \\ C_1' y_1' + C_2' y_2' = R(x) \end{cases}

设朗斯基行列式：

W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} \neq 0

解得：

C_1' = -\frac{y_2 R(x)}{W}, \quad C_2' = \frac{y_1 R(x)}{W}

积分：

C_1 = \int -\frac{y_2 R(x)}{W} dx, \quad C_2 = \int \frac{y_1 R(x)}{W} dx

通解#

y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_p

欧拉方程（Cauchy–Euler）#

1. 标准形式#

x^2 y'' + a x y' + b y = 0

2. 基本解法#

设：

x = e^t

y = x^r

代入得到特征方程：

r(r-1)+ar+b=0

3. 解的分类#

(1) 不同实根 $r_1 \ne r_2$ #

y = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2}

(2) 重根 $r$ #

y = (C_1 + C_2 \ln x)x^r

(3) 共轭复根 $r = \alpha \pm \beta i$ #

y = x^\alpha \left[ C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x) \right]

4. 非齐次欧拉方程#

x^2 y'' + a x y' + b y = f(x)

\Rightarrow \text{先解齐次解，再用常数变易法求特解}

5. 本质#

x = e^t \Rightarrow \text{转化为常系数线性微分方程}

其他补充#

1. 降阶公式#

y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2} dx

2. 朗斯基行列式#

W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}

W \ne 0 \Rightarrow \text{线性无关}

3. 方法选择#

\begin{aligned} & \text{已知一个解} \Rightarrow \text{降阶法} \\ & \text{非齐次 + 已知两个解} \Rightarrow \text{常数变易法} \\ & \text{欧拉型} \Rightarrow y=x^r \\ \end{aligned}

伯努利方程#

\begin{aligned} & y' + P(x)y = y^n \\ & \frac{1}{1-n} \cdot \frac{dy^{1-n}}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x) \overset{\text{换元}}\Rightarrow \text{一阶线性微分方程} \end{aligned}

高阶微分方程#

n阶常系数齐次线性方程#

1. 标准形式#

a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0

2. 特征方程#

设：

y = e^{rx}

代入得特征方程：

a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_1 r + a_0 = 0

3. 解的结构#

设特征方程根为 $r$

(1) 互异实根 $r_1, r_2, \dots, r_k$ #

y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + \cdots + C_k e^{r_k x}

(2) 重根 $r$ （重数为 $m$ ）#

y = (C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1}) e^{rx}

(3) 共轭复根 $r = \alpha \pm \beta i$ （重数为1）#

y = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x \right)

(4) 复根重数为 $m$ #

y = e^{\alpha x} \left[ (C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_m x^{m-1}) \sin \beta x \right]

4. 通解#

y = \sum \text{(所有线性无关解)}

n阶常系数非齐次线性方程#

1. 标准形式#

a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_0 y = f(x)

2. 通解结构#

y = y_h + y_p

其中：

$y_h$ ：对应齐次方程通解
$y_p$ ：任一特解

3. 特解方法一：待定系数法（核心）#

传统的#

适用： $f(x)$ 为以下类型：

多项式
指数函数 $e^{\lambda x}$
三角函数 $\sin \omega x,\ \cos \omega x$
它们的乘积和线性组合

(1) 基本假设形式#

若：

f(x) = e^{\lambda x} P_n(x)

设：

y_p = x^s e^{\lambda x} Q_n(x)

其中：

$Q_n(x)$ 为同阶多项式
$s$ 为“调整次数”

(2) 调整规则（关键）#

若 $\lambda$ 是特征方程的根，且重数为 $k$ ：

\Rightarrow s = k

否则：

\Rightarrow s = 0

(3) 三角函数情况#

若：

f(x) = e^{\alpha x} (A \cos \beta x + B \sin \beta x)

设：

y_p = x^s e^{\alpha x} (C \cos \beta x + D \sin \beta x)

结合算子的#

将待定系数法用微分算子统一表达，可以把“猜形式 + 调整次数”转化为一个结构化计算过程。

(1) 指数平移（核心变换）#

设：

L(D)y = f(x), \quad f(x)=e^{\lambda x}P_n(x)

令：

y_p = e^{\lambda x} R(x)

则有算子恒等式：

L(D)\big(e^{\lambda x}R(x)\big) = e^{\lambda x} L(D+\lambda)R(x)

因此原方程等价于：

L(D+\lambda)R(x) = P_n(x)

(2) 点积形式（算子展开）#

将算子展开：

L(D+\lambda) = \sum_{j=0}^n \frac{L^{(j)}(\lambda)}{j!} D^j

于是得到：

\sum_{j=0}^n \frac{L^{(j)}(\lambda)}{j!} R^{(j)}(x) = P_n(x)

可写成“向量点积形式”：

(R,\ R',\ \dots,\ R^{(n)}) \cdot \left( L(\lambda),\ L'(\lambda),\ \frac{L''(\lambda)}{2!},\ \dots \right) = P_n(x)

这一步将微分算子的作用转化为有限维代数计算。

(3) 调整次数的算子解释#

传统规则：

\lambda \text{ 是特征根，重数 } k \Rightarrow s=k

在算子中表现为：

若：

L(\lambda)=L'(\lambda)=\cdots=L^{(k-1)}(\lambda)=0

则算子退化为：

L(D+\lambda)R(x) = \frac{L^{(k)}(\lambda)}{k!} R^{(k)}(x) + \cdots

即低阶导数项全部消失。

这意味着：

方程阶数下降
原多项式空间不再足够
必须提高 $R(x)$ 的次数

等价于传统中的：

y_p = x^k e^{\lambda x} Q_n(x)

(4) 三角函数的统一处理#

若：

f(x)=e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)

设：

\lambda = \alpha + i\beta

转化为：

f(x)=\Re\big(e^{\lambda x}P(x)\big)

按指数情形计算：

L(D+\lambda)R(x)=P(x)

求得复解后取实部。

(5) 方法本质总结#

待定系数法可以统一理解为：

用指数平移：
$D \to D+\lambda$
将微分算子展开为导数的线性组合
在多项式空间中解方程
若算子在 $\lambda$ 处退化（零点），则通过提高次数（乘 $x^k$ ）补偿

(6) 一句话理解#

待定系数法本质上是：

在指数因子 $e^{\lambda x}$ 下，将微分算子 $L(D)$ 转化为 $L(D+\lambda)$ ，
并在多项式空间中通过有限维代数（点积形式）求解特解。

4. 特解方法二：常数变易法（一般理论）#

设齐次解为：

y_1, y_2, \dots, y_n

设：

y_p = \sum_{i=1}^n C_i(x) y_i

满足条件：

\begin{cases} \sum C_i' y_i = 0 \\ \sum C_i' y_i' = 0 \\ \cdots \\ \sum C_i' y_i^{(n-2)} = 0 \\ \sum C_i' y_i^{(n-1)} = \frac{f(x)}{a_n} \end{cases}

解线性方程组：#

设朗斯基行列式：

W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix} \neq 0

\Rightarrow \text{可解出 } C_i'(x)

再积分得到 $C_i(x)$

5. 解题结构总结#

\begin{aligned} & \text{齐次方程} \Rightarrow \text{特征方程} \\ & \text{非齐次方程} \Rightarrow y = y_h + y_p \\ & f(x)\ \text{规则型} \Rightarrow \text{待定系数法} \\ & f(x)\ \text{一般型} \Rightarrow \text{常数变易法} \end{aligned}

微分算子#

来源于该文章的总结

从线性变换的角度详解求微分方程特解的微分算子法 - 知乎

一、基本思想#

设常系数线性微分方程：

L(D)y = f(x)

其中：

L(D) = a_n D^n + \cdots + a_1 D + a_0

核心思路是把 $D$ 当作“代数变量”，类比多项式运算。

二、指数型右端 $e^{kx}$ #

情况 1：非共振（ $L(k) \neq 0$ ）#

y_p = \frac{1}{L(k)} e^{kx}

情况 2：一次共振（ $L(k)=0,\ L'(k)\neq 0$ ）#

y_p = \frac{1}{L'(k)} x e^{kx}

情况 3：高重根#

若：

L(k)=L'(k)=\cdots=L^{(m-1)}(k)=0,\quad L^{(m)}(k)\neq 0

则：

y_p = \frac{1}{L^{(m)}(k)} x^m e^{kx}

本质：乘 (x^m) 对应补齐算子零空间（广义特征向量 / Jordan 链）。

三、三角函数（(\sin\omega x,\ \cos\omega x)）#

利用欧拉公式：

\sin\omega x,\cos\omega x \longrightarrow e^{\pm i\omega x}

步骤：

转为复指数形式
按指数规则计算
取实部或虚部

四、多项式右端 (x^n)#

设：

y_p = \frac{1}{L(D)} x^n

通过微分算子“除法”（类似多项式除法）求解，即在多项式空间中求算子逆作用。

五、指数 × 多项式 $x^n e^{kx}$ #

利用指数平移：

D \to D + k

将方程转化为：

L(D+k)R(x) = x^n

求得 $R(x)\$ 后：

y_p = e^{kx} R(x)

六、统一结构#

1. 算子代数化#

L(D) \leftrightarrow L(r)

2. 指数平移#

L(D)\big(e^{kx}R(x)\big) = e^{kx}L(D+k)R(x)

3. 共振处理#

L(k)=0 \Rightarrow \text{乘 } x

对应：

特征根重数
算子不可逆
Jordan 结构

七、本质理解#

微分算子法本质上是将微分方程转化为算子多项式在特定函数空间上的代数运算，并通过指数平移将问题降到多项式空间求解。

八、与待定系数法的关系#

待定系数法：直接设解的形式并代入求系数
微分算子法：通过算子结构推导解的形式

两者本质一致，但微分算子法更结构化，适合推广与统一理解。

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7-微分方程

总览#

可分离变量#

有理分式#

一阶线性微分方程#

变系数齐次#

变系数非齐次#

高阶线性微分方程#

二阶线性微分方程#

变系数齐次#

1. 已知一特解（降阶法）#

通解#

变系数非齐次#

1. 已知一特解#

2. 已知齐次解#

通解#

欧拉方程（Cauchy–Euler）#

1. 标准形式#

2. 基本解法#

3. 解的分类#

(1) 不同实根 r1≠r2r_1 \ne r_2r1​=r2​#

(2) 重根 rrr#

(3) 共轭复根 r=α±βir = \alpha \pm \beta ir=α±βi#

4. 非齐次欧拉方程#

5. 本质#

其他补充#

1. 降阶公式#

2. 朗斯基行列式#

3. 方法选择#

伯努利方程#

高阶微分方程#

n阶常系数齐次线性方程#

1. 标准形式#

2. 特征方程#

3. 解的结构#

(1) 互异实根 r1,r2,…,rkr_1, r_2, \dots, r_kr1​,r2​,…,rk​#

(2) 重根 rrr（重数为 mmm）#

(3) 共轭复根 r=α±βir = \alpha \pm \beta ir=α±βi（重数为1）#

(4) 复根重数为 mmm#

4. 通解#

n阶常系数非齐次线性方程#

1. 标准形式#

2. 通解结构#

3. 特解方法一：待定系数法（核心）#

传统的#

(1) 基本假设形式#

(2) 调整规则（关键）#

(3) 三角函数情况#

结合算子的#

(1) 指数平移（核心变换）#

(2) 点积形式（算子展开）#

(3) 调整次数的算子解释#

(4) 三角函数的统一处理#

(5) 方法本质总结#

(6) 一句话理解#

4. 特解方法二：常数变易法（一般理论）#

解线性方程组：#

5. 解题结构总结#

微分算子#

一、基本思想#

二、指数型右端 ekxe^{kx}ekx#

情况 1：非共振（L(k)≠0L(k) \neq 0L(k)=0）#

情况 2：一次共振（L(k)=0, L′(k)≠0L(k)=0,\ L'(k)\neq 0L(k)=0, L′(k)=0）#

情况 3：高重根#

三、三角函数（(\sin\omega x,\ \cos\omega x)）#

四、多项式右端 (x^n)#

五、指数 × 多项式 xnekxx^n e^{kx}xnekx#

六、统一结构#

1. 算子代数化#

2. 指数平移#

3. 共振处理#

七、本质理解#

八、与待定系数法的关系#

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目录

(1) 不同实根 $r_1 \ne r_2$ #

(2) 重根 $r$ #

(3) 共轭复根 $r = \alpha \pm \beta i$ #

(1) 互异实根 $r_1, r_2, \dots, r_k$ #

(2) 重根 $r$ （重数为 $m$ ）#

(3) 共轭复根 $r = \alpha \pm \beta i$ （重数为1）#

(4) 复根重数为 $m$ #

二、指数型右端 $e^{kx}$ #

情况 1：非共振（ $L(k) \neq 0$ ）#

情况 2：一次共振（ $L(k)=0,\ L'(k)\neq 0$ ）#

五、指数 × 多项式 $x^n e^{kx}$ #