总览#

积分可以理解为同维的密度-质量，也可以理解为升维的体积

方法 DAG：先选转化，再收敛到计算出口#

先认微元，定方向；再看对称、几何；算不出就参数化、投影或换元。

三条主要计算路线是：几何量直接计算、对称关系直接定值、逐次化成一重积分。另外，第二类曲线积分若有势函数，可以直接用端点差。对称性若只把区域缩小或把若干积分化为相等，还属于中间步骤；一重积分也只是本章的计算出口，之后仍要用定积分方法。

flowchart TD A["识别积分：看积分域与微元"] --> L1["第一类曲线：f ds 与方向无关"] A --> L2["第二类曲线：P dx + Q dy + R dz 先确定行进方向"] A --> S1["第一类曲面：f dS 与侧无关"] A --> S2["第二类曲面：F·n dS 先确定法向侧"] A --> V["二重、三重积分 普通面积元、体积元无方向"] L2 -->|"存在势函数 F = ∇U"| END["出口：U(B) − U(A)"] L2 -->|"平面闭曲线；条件满足"| GREEN["格林：边界环流 → 区域二重积分 区域始终在行进方向左侧"] L2 -->|"空间闭曲线；条件满足"| STOKES["斯托克斯：环流 → 旋度通量 边界方向与法向按右手配对"] GREEN --> V STOKES --> S2 S2 -->|"闭曲面；条件满足"| GAUSS["高斯：外向通量 → 散度三重积分 取内侧则变号"] GAUSS --> V L1 --> LC["沿曲线检查几何与对称 直接计算时：参数化"] L2 --> LC S1 --> SC["沿曲面检查几何与对称 直接计算时：投影或参数化"] S2 --> SC V --> VC["沿区域检查几何与对称 直接计算时：定积分次序、选坐标"] LC --> GEO["几何识别：常量 × 长度、面积、体积 或积分本身表示标准几何量"] SC --> GEO VC --> GEO GEO --> GEND["出口：套标准几何公式"] LC --> SYM["对称：必须连同微元及方向一起判断"] SC --> SYM VC --> SYM SYM -->|"相消，或联立关系已确定数值"| ZEND["出口：0 或直接确定的值"] SYM -->|"仅缩域、合并或减少项数"| RED["对剩余积分按类型参数化、投影或换元"] LC --> ONE["出口：一重定积分"] SC --> MULTI["普通二重或三重积分"] VC --> MULTI RED -->|"曲线积分"| ONE RED -->|"曲面积分或重积分"| MULTI MULTI -->|"直角、极、柱、球坐标；逐次积分"| ONE classDef finish fill:#dcfce7,stroke:#16a34a,color:#14532d; classDef theorem fill:#fef3c7,stroke:#d97706,color:#78350f; class END,GEND,ZEND,ONE finish; class GREEN,STOKES,GAUSS theorem;

这是选路图：每次选择最省计算的一条路线，不必遍历所有分支。为保持 DAG，图中只画常用的单向转化；三大公式本身是等式，也能反向使用。

方向只跟着有向微元走#

积分类型	化成普通积分时的微元	方向如何处理
第一类曲线	$ds=\\|\mathbf r'(t)\\|dt$ ，参数从小到大	取长度，反向不变
第二类曲线	$\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)dt$	参数行进须符合题意；反向变号
第一类曲面	$dS=\\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\\|du\,dv$	取面积，换侧不变
第二类曲面	$\mathbf F(\mathbf r)\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)du\,dv$	叉乘须指向指定侧；相反则补负号
二重、三重积分	换元乘 $	J

第一类取模，第二类点积；换元取绝对值，换向才变号。 上表参数化按正则参数片使用，复杂曲线、曲面可分段或分片。

投影到 $xy$ 平面时，曲面 $z=z(x,y)$ 的两类微元对照最容易记：

dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy,\qquad \mathbf n\,dS=\pm(-z_x,-z_y,1)\,dx\,dy.

第二式正号取上侧，负号取下侧。第一类用法向面积向量的长度，第二类保留向量方向。

三大公式：边界与内部的联系#

设 $\mathbf F=(P,Q,R)$ 。使用下表的标准充分条件是场在有关区域的某个开邻域内为 $C^1$ ，边界分段光滑；斯托克斯还要求曲面可定向，并选定相容的边界方向。

公式	转化	方向口令
格林	$\displaystyle\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA$	区域在左：外边界逆时针，孔洞边界顺时针
高斯	$\displaystyle\oiint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf F\,dV$	闭曲面取外侧
斯托克斯	$\displaystyle\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$	右手拇指指法向，四指弯曲方向为边界正向

未闭合时，可以补线或补面，但必须计算并减去补上的部分，且各部分方向要相容。若区域内有奇点，不能直接跨过奇点使用公式；挖洞后也必须计入新增边界。

势函数路线要求 $\mathbf F=\nabla U$ 。在单连通开区域内， $C^1$ 向量场旋度为零可保证存在势函数；仅检查偏导相等而忽略区域的孔洞，不足以保证路径无关。

三条主要路线何时真正结束#

路线	能直接结束的例子	还不能结束的情况
几何量	$\int_L1\,ds=\text{弧长}$ ； $\iint_D1\,dA=\text{面积}$ ； $\iint_S1\,dS=\text{曲面面积}$ ； $\iiint_\Omega1\,dV=\text{体积}$	积分域是圆或球，但被积函数不是常数，也没有直接的几何解释
对称性	对称域上奇函数积分为零；或对称关系加一个已知总和确定积分值	偶函数化成半区积分的两倍，仍需算半区积分
一重积分	曲线参数化；重积分逐层积分后只剩一个变量	仅写成二重、三重累次积分，仍需逐层计算

第二类积分要先把方向纳入被积表达式，再判断奇偶性，不能只看 $P,Q,R$ 。例如单位圆逆时针方向上， $x,y$ 虽各有奇对称，但 $\oint(x\,dy-y\,dx)=2\pi$ ，并不为零。

几何与对称可以配合结束： 半径为 $R$ 的球面 $S$ 上，由轮换对称性，

\iint_Sx^2\,dS=\iint_Sy^2\,dS=\iint_Sz^2\,dS =\frac13\iint_S(x^2+y^2+z^2)\,dS =\frac{4\pi R^4}{3}.

这里先由对称性把三项合成一项，再用球面上 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 和球面积公式结束。

求体积：不同状况下怎么选方法#

先看能否用几何公式，再看截面或上下边界是否好写；复杂区域用三重积分，边界通量好算时用高斯公式。 各种积分方法本质上都是把体积分成容易计算的小块。

适用方法速查#

题目给出的条件 / 区域特征	优先考虑	体积公式与适用要点
标准柱体、锥体、球体，或能拆成这些形状	几何公式、分割与补形	柱体 $V=Sh$ ，锥体 $V=Sh/3$ ，球体 $V=4\pi R^3/3$ ；相加时不能重复计算重叠部分
垂直某轴的截面积容易写出	截面法（一重积分）	$V=\int_a^b A(x)\,dx$ ， $A(x)$ 为垂直 $x$ 轴的实际截面积；不要求是旋转体
平面区域绕直线旋转，垂直于轴切片方便	圆盘 / 圆环法	$V=\pi\int_a^b[R(t)^2-r(t)^2]\,dt$ ； $t$ 沿旋转轴， $R,r$ 是到轴的外、内半径
平面区域绕直线旋转，平行于轴取条带方便	柱壳法	$V=2\pi\int_{\rho_1}^{\rho_2}\rho h(\rho)\,d\rho$ ； $\rho$ 是到轴的距离， $h$ 为该半径处沿轴方向的总长度
上下曲面能写成 $z=z_2(x,y)$ 、 $z=z_1(x,y)$	投影法（二重积分）	$V=\iint_D(z_2-z_1)\,dx\,dy$ ，要求在投影域 $D$ 上 $z_2\ge z_1$
多个曲面围成，难以直接写出统一的高度	三重积分	$V=\iiint_\Omega1\,dV$ ；按区域选积分次序、坐标，必要时分块
边界含 $x^2+y^2$ ，圆柱、圆锥或绕 $z$ 轴对称	柱坐标；投影后也可用极坐标	三重积分用 $dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$ ；二重积分用 $dA=\rho\,d\rho\,d\theta$
球、球壳、以原点为顶点的圆锥截出的球内区域	球坐标	$dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$ ， $\varphi$ 为与 $z$ 轴正向的夹角
椭球或经线性变换能变成简单区域	换元法	$V=\iiint_{\Omega’}
闭曲面已知，且在各边界面上通量容易计算	高斯公式反求体积	选 $\operatorname{div}\mathbf F=1$ ，则 $V=\oiint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ ，取外法向

对称性可以配合以上方法：若平面或坐标轴把整个立体区域分成若干等体积部分，就只算一份再乘份数。只看到某一个边界方程对称，还不能直接倍乘。

旋转体：圆环还是柱壳#

垂直旋转轴切，用圆盘 / 圆环；平行旋转轴取条带，用柱壳。优先选边界好表示、分段少的一种。

旋转轴和母线轮廓平行的话用柱壳法，垂直的话用圆环法

以区域 $a\le x\le b$ 、 $0\le g(x)\le y\le f(x)$ 为例：

绕 $x$ 轴：竖条垂直于轴，圆环法直接得到 $V=\pi\int_a^b[f(x)^2-g(x)^2]\,dx$ 。
绕 $y$ 轴，且 $0\le a<b$ ：竖条平行于轴，柱壳法直接得到 $V=2\pi\int_a^b x[f(x)-g(x)]\,dx$ 。
绕 $y$ 轴也能用圆环法，但要用 $y$ 表示左右边界；若需要求复杂的反函数，通常柱壳法更省事。

例如 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le x^2$ 绕 $y$ 轴：

V=2\pi\int_0^1x\cdot x^2\,dx=\frac\pi2 =\pi\int_0^1\left[1^2-(\sqrt y)^2\right]\,dy.

轴平移后，半径要改成到轴的距离：绕 $x=c$ 时为 $|x-c|$ ，绕 $y=c$ 时为 $|y-c|$ 。

若区域跨过旋转轴，不能把两侧旋转后的体积直接相加，因为可能重叠。圆环法应根据实际截面确定半径：一条线段跨过轴时旋转成圆盘，内半径为 $0$ ；柱壳法应把相同半径处沿轴方向的区间取并集后再求总长度。比如 $-1\le x\le1$ 、 $0\le y\le1$ 绕 $y$ 轴得到体积 $\pi$ ，直接算 $2\pi\int_{-1}^1|x|\,dx$ 会重复计算。

曲面围成：投影、截面与三重积分#

若沿 $z$ 方向穿过立体，每条竖线都得到一段 $z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)$ ，则

V=\iiint_\Omega1\,dV =\iint_D\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}1\,dz\right]dx\,dy =\iint_D[z_2(x,y)-z_1(x,y)]\,dx\,dy.

这是先积高度，再积底面。若固定 $z$ 后截面 $D_z$ 的面积更好求，则改成先积截面，再积厚度：

V=\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}\left[\iint_{D_z}1\,dx\,dy\right]dz =\int_{z_{\min}}^{z_{\max}}A(z)\,dz.

投影到哪个平面、先积哪个变量，都以边界最简单为准。投影域要满足所有边界限制，不能只求两曲面的交线就结束；若上下边界发生切换，或一条竖线穿过立体得到多段，应分块或把各段高度相加。

例如 $z=x^2+y^2$ 与 $z=2$ 围成的立体，投影域为 $x^2+y^2\le2$ 。高度已知，底面又是圆，直接用二重积分配合极坐标：

V=\iint_{x^2+y^2\le2}(2-x^2-y^2)\,dx\,dy =\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}(2-\rho^2)\rho\,d\rho\,d\theta =2\pi.

只有边界好算：高斯公式#

当 $\Omega$ 是有界立体、边界分片光滑时，取 $\mathbf F=(x,y,z)/3$ 或 $\mathbf F=(0,0,z)$ ，两者散度都是 $1$ ，所以

V=\frac13\oiint_{\partial\Omega}(x n_x+y n_y+z n_z)\,dS =\oiint_{\partial\Omega}z n_z\,dS.

这里 $\mathbf n$ 是外单位法向量。若许多边界面上的通量为零，这条路线很方便；否则通常投影法更直接。必须包含完整闭边界，有空腔时也要计入朝向空腔内部的外法向；补面后须扣除补面的通量。

易错点#

体积非负： $\iint_Df\,dA$ 在 $f$ 有正有负时是有向体积；曲面 $z=f(x,y)$ 与 $z=0$ 之间的几何体积为 $\iint_D|f|\,dA$ 。上下曲面明确时直接用上减下。
面积与体积区分： $\iint_\Sigma1\,dS$ 求曲面面积；体积用 $\iiint_\Omega1\,dV$ ，或底面积元乘高度。
圆环是平方差： $\pi(R^2-r^2)$ ，不是 $\pi(R-r)^2$ 。
换坐标别漏因子：极 / 柱坐标有 $\rho$ ，球坐标有 $r^2\sin\varphi$ ，一般换元有 $|J|$ 。

二重积分#

定义#

\iint\limits_{D} f(x,y) \, d\sigma = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i \quad (\lambda =max(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n))

性质#

线性性#

\iint\limits_{D}[\alpha f(x,y) + \beta g(x,y)] \mathrm{d} \sigma = \alpha\iint\limits_{D} f(x,y) \mathrm{d} \sigma + \beta\iint\limits_{D} g(x,y) \mathrm{d} \sigma

区域可加性#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D_1}f(x,y) \mathrm{d}\sigma + \iint\limits_{D_2}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \quad ((D_1\cup D_2=D) \land (D_1 \cap D_2 = \emptyset))

区域面积#

\iint\limits_{D} 1 \,\mathrm{d}\sigma = \sigma

保号性#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \leqslant \iint\limits_{D}g(x,y) \mathrm{d}\sigma \quad (f(x,y) \leqslant g(x,y))

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \lt \iint\limits_{D}g(x,y) \mathrm{d}\sigma \quad (f(x,y) \lt g(x,y))

三角不等式#

\left| \iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma \right| \leqslant \iint\limits_{D}|f(x,y)| \mathrm{d}\sigma

二重积分中值定理#

\exists (\xi,\eta) \, s.t. f(\xi,\eta) = \frac{\iint_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma}{\sigma}

计算#

笛卡尔#

X型区域#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int_a^b \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x,y) \, dy \, dx

Y型区域#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \int_a^b \int_{\varphi(y)}^{\psi(y)} f(x,y) \, dx \, dy

极坐标#

\iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D}f(\rho\cos{\theta},\rho\sin{\theta}) \rho \, \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta

换元#

\begin{aligned} & \iint\limits_{D}f(x,y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D_{u,v}}f(x(u,v),y(u,v)) |J| \mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ & J = \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \end{aligned}

三重积分#

定义#

\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, d\sigma = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i \quad (\lambda =max(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n))

性质#

和二重积分类似

计算#

笛卡尔#

投影法#

先求投影区域 $D_{xy}$ ，再确定区域上每一点对应的 $z$ 的范围。注意 $D_{xy}$ 是平面上的点集，通常用不等式表示；它的边界 $\partial D_{xy}$ 才用轮廓方程描述。

以投影到xOy平面为例

\begin{aligned} &\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, \mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz} = \iint\limits_{D_{xy}} F(x,y) \, \mathrm{d}x \mathrm{dy} \\ & F(x,y) = \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, \mathrm{dz} \end{aligned}

上式适用于每条竖线与立体相交得到一段区间的情形；若得到多段，就分别积分后相加。

投影区域与轮廓怎么求#

1. 本质：固定两个坐标，检查第三个坐标是否存在#

向 $xy$ 平面作正投影，就是把空间点 $(x,y,z)$ 映到 $(x,y)$ 。直观上可以想象：沿着 $z$ 轴方向照光，落在 $xy$ 平面上的影子就是投影。

对空间点集 $E$ （可以是曲面 $\Sigma$ ，也可以是立体 $\Omega$ ），定义

D_{xy}=\{(x,y):\exists z\in\mathbb R,\ (x,y,z)\in E\}.

固定 $(x,y)$ ，沿竖直方向找：只要有一个 $z$ 满足原题的全部条件，这个点就在投影里。 因此，求投影就是消去 $z$ ，得到“这样的 $z$ 存在”的充要条件。

这里要区分三个对象：

对象	含义	球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的例子（ $R>0$ ）
投影区域 $D_{xy}$	所有能找到对应空间点的 $(x,y)$	圆盘 $x^2+y^2\le R^2$
投影轮廓 $\partial D_{xy}$	投影区域的边界，可能有外边界和内边界	圆周 $x^2+y^2=R^2$
与 $xy$ 平面的截线	原曲面上恰好满足 $z=0$ 的点	此例也是圆周，但这是特殊巧合

投影保留所有高度的信息；令 $z=0$ 只取一个高度的截线。 例如球面 $x^2+y^2+(z-3)^2=1$ 与 $z=0$ 没有交点，向 $xy$ 平面的投影却仍然是 $x^2+y^2\le1$ 。

2. 统一步骤：列全条件 → 消去高度 → 确定区域 → 筛出边界#

flowchart TD A["写出曲面或立体的全部等式、不等式"] --> B["固定 x、y，检查是否存在满足条件的 z"] B --> C["能解出 z：检查定义域、上下界与分支"] B --> D["关于 z 是二次方程：判别式，再检查额外限制"] B --> E["难以显式求解：找边缘与竖直相切的候选轮廓"] C --> F["得到或验证平面上的可行区域 D"] D --> F E --> F F --> G["筛出实际边界；写成积分限，必要时分块"]

做题时按下面四步走：

列全条件。 曲面方程之外，第一卦限、球内、柱内、某平面上方等限制都要写出。
把 $(x,y)$ 暂时看成常数。 只问关于 $z$ 的方程或不等式有没有解。
把有解条件改写成只含 $x,y$ 的条件。 得到的是整个投影区域，不能只留边界等式。
从区域找边界和积分限。 等式给出候选边界，再用其余限制确定保留哪一段、区域在哪一侧。

3. 能写出高度时：定义域与“下界不超过上界”#

单张函数曲面。 若曲面就是

\Sigma=\{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in D_0\},

则投影直接是 $D_0$ 。若还要求曲面位于某个球内、平面上方等，就把 $z=f(x,y)$ 代入这些限制，得到更小的区域。

例如平面 $2x+y+z=2$ 在第一卦限的部分：

z=2-2x-y\ge0,\qquad x\ge0,\quad y\ge0,

所以

D_{xy}=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0,\ 2x+y\le2\}.

轮廓是三条线段，分别位于 $x=0$ 、 $y=0$ 、 $2x+y=2$ 上；它们所在的整条直线并不全是边界。用于积分时可写为 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le2-2x$ 。

上下曲面之间的立体。 若

\Omega=\{(x,y,z):(x,y)\in D_0,\ L(x,y)\le z\le U(x,y)\},

则

D_{xy}=\{(x,y)\in D_0:L(x,y)\le U(x,y)\}.

这也说明两曲面的交线为什么经常有用：在没有其他限制的常见情形中，投影边缘处上下高度相等，令 $L=U$ 就能找到轮廓。但若有侧壁或定义域限制，它们也可能贡献边界。

多个上下界同时成立。 若在共同定义域 $D_0$ 上有

z\ge L_1,\ldots,z\ge L_m,\qquad z\le U_1,\ldots,z\le U_n,

则令

L=\max_iL_i,\qquad U=\min_jU_j, \qquad D_{xy}=\{(x,y)\in D_0:L\le U\}.

也可以把有解条件写成所有 $L_i\le U_j$ 同时成立。根式、分母等定义域限制必须保留。若关于 $z$ 的可行范围本来是几段互不相交的区间，应分别处理后取投影的并集，不能用最小下界到最大上界填满中间的空隙。

例：抛物面与斜平面围成的立体#

设

\Omega:\quad x^2+y^2\le z\le2x.

存在 $z$ 的条件是

x^2+y^2\le2x \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2+y^2\le1.

因此投影是以 $(1,0)$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆盘，轮廓为 $(x-1)^2+y^2=1$ 。由此直接写出体积积分：

V=\int_0^2\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \int_{x^2+y^2}^{2x}1\,dz\,dy\,dx.

若用极坐标， $\rho^2\le2\rho\cos\theta$ 给出

-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2,\qquad 0\le\rho\le2\cos\theta.

联立上下曲面求交线得到圆周；比较上下界得到圆盘。后者才是积分域。

4. 隐式曲面：把投影问题化成实根存在问题#

若曲面为 $F(x,y,z)=0$ ，固定 $(x,y)$ 后，把它看成关于 $z$ 的方程。

特别地，若

a(x,y)z^2+b(x,y)z+c(x,y)=0,\qquad a(x,y)\ne0,

且没有额外限制，则

(x,y)\in D_{xy} \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta(x,y)=b(x,y)^2-4a(x,y)c(x,y)\ge0.

若还有 $z\ge0$ 、 $z\le1$ 等条件，必须检查至少一个实根满足这些条件，不能只看判别式。若 $a=0$ ，则在这部分单独按一次方程或常量方程讨论。

例：带有交叉项的椭球面#

x^2+y^2+z^2+xz=1.

把它看成 $z^2+xz+(x^2+y^2-1)=0$ ，则

\Delta=x^2-4(x^2+y^2-1)=4-3x^2-4y^2.

所以

D_{xy}:3x^2+4y^2\le4,\qquad \partial D_{xy}:3x^2+4y^2=4.

也可以配方： $(z+x/2)^2+3x^2/4+y^2=1$ 。固定 $(x,y)$ 后，只要右边允许平方项非负，就存在对应的高度。若误令 $z=0$ ，会得到 $x^2+y^2=1$ ，这是截线，不是投影轮廓。

5. 不方便解出高度：找竖直相切的点，再筛选#

对光滑隐式曲面 $F(x,y,z)=0$ ，假设 $\nabla F\ne0$ 。如果某点 $F_z\ne0$ ，隐函数定理保证其附近可写成 $z=f(x,y)$ ，因而附近一小片平面上的点都能投影到。这种曲面内部点不会单独形成投影的边缘。

所以，光滑曲面内部产生的投影轮廓候选点满足

\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ F_z(x,y,z)=0. \end{cases}

几何上， $\nabla F\cdot(0,0,1)=F_z=0$ ，说明竖直方向位于切平面内，即投影方向与曲面相切。消去 $z$ ，就得到平面上的候选轮廓。

例如球面 $F=x^2+y^2+z^2-R^2$ ，由 $F_z=2z=0$ 得 $z=0$ ，代回得到 $x^2+y^2=R^2$ 。球面没有自己的边缘，但投影仍有圆周边界，来源正是这种相切。

上一例中， $F_z=2z+x=0$ 给出 $z=-x/2$ ，代回同样得到 $3x^2+4y^2=4$ ；对于二次方程，这对应判别式为零、两个高度分支合并。

这一步只生成候选轮廓。 对常见的有界闭曲面或含边缘的紧致曲面片，还要检查：

曲面片自身的边缘：例如被平面截出的交线、参数范围的边界。
不光滑或奇异的位置： $\nabla F=0$ 时，上述光滑论证不适用，应单独检查。
其他曲面片的遮盖：某一片的投影边缘可能落在整个投影的内部。

最后仍要回到“是否存在满足全部条件的 $z$ ”来决定哪部分是真边界、区域在哪一侧。无界或不含边缘的开放曲面还可能出现极限形成的投影边界，不能仅凭这组方程声称找全了轮廓。

若给的是正则参数曲面 $\mathbf r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ ，对应的内部候选条件是

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=x_uy_v-x_vy_u=0,

即投影到平面后的两条参数切向量不再张成一个小面积；还需检查参数域边界并筛选。

6. 有截取条件时：交线投影不一定是外轮廓#

看单位球面的两种截取。记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ，球面上的高度为 $z=\pm\sqrt{1-r^2}$ 。

曲面片	存在合适高度的条件	实际投影
球冠： $x^2+y^2+z^2=1$ ， $z\ge1/2$	$\sqrt{1-r^2}\ge1/2$	$r^2\le3/4$ ，圆盘
球带： $x^2+y^2+z^2=1$ ， $\lvert z\rvert\le1/2$	$0\le\sqrt{1-r^2}\le1/2$	$3/4\le r^2\le1$ ，圆环

球冠的轮廓来自截平面与球面的交线。球带则有两条轮廓：内圈 $r^2=3/4$ 来自边缘交线，外圈 $r^2=1$ 来自赤道处的竖直相切。只求球面与 $z=\pm1/2$ 的交线，就会漏掉球带的外轮廓。

还要区分曲面片与立体：若把第二行的球面等式改成球内不等式

\Omega:\quad x^2+y^2+z^2\le1,\qquad |z|\le\frac12,

投影就是整个单位圆盘，因为任意 $r\le1$ 都能选择 $z=0$ 。曲面球带的投影有孔，并不表示对应球内薄层的投影也有孔。

7. 区域边界与积分分界线要分清#

即使已经求出了整个 $D_{xy}$ ，上下限也可能在区域内部切换，需要分块积分。

例如立体

0\le z\le x,\qquad z\le1-x,\qquad 0\le y\le1.

有解要求 $0\le\min(x,1-x)$ ，所以 $D_{xy}=[0,1]\times[0,1]$ 。而上界在 $x=1/2$ 处由 $x$ 切换为 $1-x$ ：

V=\int_0^{1/2}\int_0^1\int_0^x1\,dz\,dy\,dx +\int_{1/2}^1\int_0^1\int_0^{1-x}1\,dz\,dy\,dx.

两上边界面的交线投影 $x=1/2$ 是积分时的分界线，不是整个投影的外轮廓。这是“联立任意两曲面，得到的都是投影边界”不成立的另一个例子。

对于曲面积分也要留意多层覆盖：整个球面的投影是一个圆盘，但圆盘内部多数点对应上下两个曲面点。因此投影法计算整个球面积时要把上下半球分片，各算一遍再相加；投影区域取并集时不重复记点，曲面积分却必须计入每张曲面片。

8. 选法速查与验算#

已知形式	先做什么	保留什么条件
$z=f(x,y)$ 的曲面片	直接读定义域，把 $z=f$ 代入截取条件	定义域与全部截取限制
多个上下界围成的立体	最大下界 $\le$ 最小上界	侧壁、根式定义域、分支；必要时分块
关于 $z$ 的二次方程	判别式 $\ge0$ ，或配方	二次项非零；至少一个根满足额外条件
一般光滑隐式曲面	联立 $F=0,F_z=0$ 消去 $z$	另查曲面边缘、奇异点，筛掉内部候选线
参数曲面	检查投影的雅可比行列式为零处	参数域边界、覆盖关系与实际可行区域

求出结果后，做三个检查：

区域检查：挑内部、外部各一个点代回原条件，分别应能、不能找到合适的 $z$ 。这是快速验算，不能代替前面的等价推导。
边界检查：看边界附近可行高度为何消失，是上下界相遇、实根消失，还是被额外限制截断；不要默认每条候选线都是真边界。
积分检查：能否在每块区域上明确写出全部高度区间或曲面分支；如果不能，继续分块或换投影方向。

投到 $yz$ 平面就固定 $y,z$ 、消去 $x$ ，光滑内部轮廓的候选条件相应是 $F=0,F_x=0$ ；投到 $xz$ 平面则消去 $y$ 、检查 $F=0,F_y=0$ 。投到任意平面时，可先选取平面内的两个正交坐标和沿法向的第三个坐标，再消去法向坐标；几何条件统一为 $\nabla F\cdot\mathbf n=0$ ，其中 $\mathbf n$ 是目标平面的法向量。

总口诀：投影看“存在”，截面才“代零”；上下比大小，隐式看实根；交线和切线都只是候选，完整条件决定真正区域。

柱坐标#

\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, d\sigma = \iiint\limits_{\Omega'} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z) \, \rho \mathrm{d\rho}\mathrm{d\theta} \mathrm{dz}

球坐标#

\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, d\sigma = \iiint\limits_{\Omega'} f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi) \, r^2\sin\varphi\mathrm{dr}\mathrm{d\varphi} \mathrm{d\theta}

换元#

和二重类似

曲线积分#

以二维空间上的曲线为例

第一类#

定义#

\int_{\Gamma} f(x,y) \mathrm{ds}

性质#

线性性#

\int_{\Gamma} \alpha f(x,y) + \beta g(x,y) \,\mathrm{ds} = \alpha\int_{\Gamma} f(x,y) \,\mathrm{ds} + \beta\int_{\Gamma} g(x,y) \,\mathrm{ds}

区域可加性#

\int_{\Gamma} f(x,y) \, \mathrm{ds} = \int_{\Gamma_1} f(x,y) \, \mathrm{ds} + \int_{\Gamma_2} f(x,y) \, \mathrm{ds} \quad ((\Gamma_1\cup \Gamma_2=\Gamma) \land (\Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \emptyset))

区域弧长#

\int_{\Gamma} 1 \, \mathrm{ds} = s

弧长方向#

\int_{\overset{\frown}{AB}} f(x,y) \,\mathrm{ds} = \int_{\overset{\frown}{BA}} f(x,y) \,\mathrm{ds}

保号性#

和重积分类似

三角不等式#

和重积分类似

计算#

\int_{\Gamma} f(x,y) \,\mathrm{ds} = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{\varphi'(t)^2 + \psi'(t)^2} \,\mathrm{dt} \quad (\alpha \lt \beta)

第二类#

定义#

\int_{\Gamma} P(x,y) \,\mathrm{dx} = \lim_{\lambda\rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P(\zeta_i, \eta_i) \,\Delta x_i

计算#

\int_{L^+} P(x,y) \,\mathrm{dx} = -\int_{L^-} P(x,y) \,\mathrm{dx}

\begin{aligned} & \text{L上点}A \rightarrow B \text{对应} \\ & t : \alpha \rightarrow \beta \\ \int_{L} P(x,y) \,\mathrm{dx} & = \int_{\alpha}^{\beta} P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi'(t) \,\mathrm{dt} \end{aligned}

两者联系#

\begin{aligned} \cos\alpha = \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} \\ \cos\beta = \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} \\ \overset{\rightarrow}\varepsilon = (\cos\alpha,\cos\beta) \\ \overset{\rightarrow}A = (P(x,y), Q(x,y)) \\ \mathrm{d\overset{\rightarrow}s} = (\mathrm{dx}, \mathrm{dy}) \\ \int_{L} \overset{\rightarrow}A \cdot \mathrm{d\overset{\rightarrow}s} = \int_{L} \overset{\rightarrow}A \cdot \overset{\rightarrow}\varepsilon \mathrm{ds} \end{aligned}

格林公式#

设 $P,Q$ 在区域 $D$ 的某个开邻域内具有连续的一阶偏导数，边界分段光滑。边界正方向规定为：沿边界行进时，区域 $D$ 始终在左侧。因此外边界逆时针，孔洞边界顺时针。

一般题目会规定曲线正方向，要判断其真正方向是否和格林公式的方向相一致

\iint\limits_{D} \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} \\ P &Q \end{vmatrix} \,\mathrm{d\sigma} = \oint_{L^+}P(x,y) \mathrm{dx} + Q(x,y)\mathrm{dy} \quad (\partial D = L)

若 $P,Q$ 在 $D$ 内有奇点，不能直接使用格林公式。可尝试挖去奇点附近的小区域，在剩余区域使用公式，并计入新增内边界的积分；需要时再取极限。

路径无关条件#

若 $P,Q\in C^1$ ，且定义在单连通开区域内，则以下条件保证路径无关：

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

曲面积分#

第一类#

定义#

\iint\limits_{\Sigma} u(x,y,z) \,\mathrm{dS} = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^n u(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_i

性质#

和其他积分差不多

计算#

投影法#

若曲面 $\Sigma$ 可以写成 $z=z(x,y)$ ，在 $xOy$ 平面上的投影为 $D_{xy}$ ，则

\iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z) \,\mathrm{dS} = \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + z_x^2(x,y) + z_y^2(x,y)} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

同理，若曲面可以写成 $x=x(y,z)$ 或 $y=y(x,z)$ ，则

\begin{aligned} \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z) \,\mathrm{dS} &= \iint\limits_{D_{yz}} f(x(y,z),y,z) \sqrt{1 + x_y^2(y,z) + x_z^2(y,z)} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ &= \iint\limits_{D_{xz}} f(x,y(x,z),z) \sqrt{1 + y_x^2(x,z) + y_z^2(x,z)} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}z \end{aligned}

投影域的确定见投影区域与轮廓怎么求。若同一投影点对应多个曲面点，须先把曲面分成可表示为单值函数的曲面片，再分别使用上式。

参数方程#

若曲面由

\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases} \quad ((u,v)\in D)

给出，则

\begin{aligned} &\iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z) \,\mathrm{dS} \\ &= \iint\limits_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \left| \overset{\rightarrow}{r_u} \times \overset{\rightarrow}{r_v} \right| \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}

其中

\overset{\rightarrow}{r_u} = (x_u,y_u,z_u), \quad \overset{\rightarrow}{r_v} = (x_v,y_v,z_v)

几何意义#

\iint\limits_{\Sigma} 1 \,\mathrm{dS} = S

第一类曲面积分和方向无关。

第二类#

定义#

第二类曲面积分是有向曲面积分，与曲面的侧有关。

\iint\limits_{\Sigma} P(x,y,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q(x,y,z)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R(x,y,z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

也可以写成向量形式

\iint\limits_{\Sigma} \overset{\rightarrow}{A} \cdot \mathrm{d}\overset{\rightarrow}{S} \quad ( \overset{\rightarrow}{A}=(P,Q,R) )

方向#

若 $\overset{\rightarrow}{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为曲面指定侧的单位法向量，则

\mathrm{d}\overset{\rightarrow}{S} = \overset{\rightarrow}{n}\,\mathrm{dS} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\,\mathrm{dS}

于是

\begin{aligned} \mathrm{d}y\mathrm{d}z &= \cos\alpha\,\mathrm{dS} \\ \mathrm{d}z\mathrm{d}x &= \cos\beta\,\mathrm{dS} \\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \cos\gamma\,\mathrm{dS} \end{aligned}

改变曲面的侧，第二类曲面积分变号。

计算#

投影法#

以 $\Sigma:z=z(x,y)$ 为例，取上侧时

\begin{aligned} &\iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint\limits_{D_{xy}} [-P(x,y,z)z_x(x,y)-Q(x,y,z)z_y(x,y)+R(x,y,z)] \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

取下侧时，结果反号。

只含某一项时，按对应投影直接计算：

\begin{aligned} \iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z &= \pm \iint\limits_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \iint\limits_{\Sigma} Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x &= \pm \iint\limits_{D_{zx}} Q(x,y(z,x),z)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x \\ \iint\limits_{\Sigma} R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \pm \iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

正负号由指定侧的法向量与对应坐标轴正方向是否一致决定。

本质为

\begin{aligned} \iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \iint\limits_{\Sigma_{uv}} \overset{\rightarrow}A(\overset{\rightarrow}{r}) \cdot (\overset{\rightarrow}{r_u} \times \overset{\rightarrow}{r_v}) \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ \overset{\rightarrow}{r} &= (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \\ \overset{\rightarrow}{r_u} &= \frac{\partial\overset{\rightarrow}{r}}{\partial u} \\ \overset{\rightarrow}{r_v} &= \frac{\partial\overset{\rightarrow}{r}}{\partial v} \end{aligned}

$\overset{\rightarrow}{r_u}$ 和 $\overset{\rightarrow}{r_v}$ 是曲面的两条偏切向量，方向也是随着u或v增大的方向，就好像曲线切向量也是随着t增大的方向

参数方程#

若曲面由 $\overset{\rightarrow}{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 给出，则

\iint\limits_{\Sigma} \overset{\rightarrow}{A} \cdot \mathrm{d}\overset{\rightarrow}{S} = \iint\limits_D \overset{\rightarrow}{A}(\overset{\rightarrow}{r}(u,v)) \cdot (\overset{\rightarrow}{r_u}\times\overset{\rightarrow}{r_v}) \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v

若 $\overset{\rightarrow}{r_u}\times\overset{\rightarrow}{r_v}$ 的方向和题目给定方向相反，则积分结果取反。

两者联系#

\begin{aligned} &\iint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \iint\limits_{\Sigma} (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{dS} \end{aligned}

即第二类曲面积分可以看成向量场在法向方向上的第一类曲面积分。

高斯公式#

若闭曲面 $\Sigma$ 分片光滑且取外侧， $\Omega$ 为其围成的空间区域， $P,Q,R$ 在 $\overline\Omega$ 的某个开邻域内具有连续的一阶偏导数，则

\oiint\limits_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z +Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x +R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z

若曲面不是闭曲面，常通过补面构造闭曲面，再用高斯公式。

斯托克斯公式#

若可定向的分片光滑曲面 $\Sigma$ 的边界为 $\Gamma$ ， $P,Q,R$ 在曲面的某个开邻域内具有连续的一阶偏导数，且 $\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的法向满足右手定则，则有下式。应按题目给定的边界方向选择相容法向；若所选法向与之相反，结果需变号。

\oint\limits_{\Gamma} P\,\mathrm{d}x +Q\,\mathrm{d}y +R\,\mathrm{d}z = \iint\limits_{\Sigma} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

展开为

\begin{aligned} \oint\limits_{\Gamma} P\,\mathrm{d}x +Q\,\mathrm{d}y +R\,\mathrm{d}z &= \iint\limits_{\Sigma} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ &+ \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x \\ &+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

音乐

音乐

9-多元函数积分学

总览#

方法 DAG：先选转化，再收敛到计算出口#

方向只跟着有向微元走#

三大公式：边界与内部的联系#

三条主要路线何时真正结束#

求体积：不同状况下怎么选方法#

适用方法速查#

旋转体：圆环还是柱壳#

曲面围成：投影、截面与三重积分#

只有边界好算：高斯公式#

易错点#

二重积分#

定义#

性质#

线性性#

区域可加性#

区域面积#

保号性#

三角不等式#

二重积分中值定理#

计算#

笛卡尔#

X型区域#

Y型区域#

极坐标#

换元#

三重积分#

定义#

性质#

计算#

笛卡尔#

投影法#

投影区域与轮廓怎么求#

1. 本质：固定两个坐标，检查第三个坐标是否存在#

2. 统一步骤：列全条件 → 消去高度 → 确定区域 → 筛出边界#

3. 能写出高度时：定义域与“下界不超过上界”#

例：抛物面与斜平面围成的立体#

4. 隐式曲面：把投影问题化成实根存在问题#

例：带有交叉项的椭球面#

5. 不方便解出高度：找竖直相切的点，再筛选#

6. 有截取条件时：交线投影不一定是外轮廓#

7. 区域边界与积分分界线要分清#

8. 选法速查与验算#

柱坐标#

球坐标#

换元#

曲线积分#

第一类#

定义#

性质#

线性性#

区域可加性#

区域弧长#

弧长方向#

保号性#

三角不等式#

计算#

第二类#

定义#

计算#

两者联系#

格林公式#

路径无关条件#

曲面积分#

第一类#

定义#

性质#

计算#

投影法#

参数方程#

几何意义#

第二类#

定义#

方向#

计算#

投影法#

参数方程#